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高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之二次函數(shù)

2019-01-16 00:43:48  來源:網(wǎng)絡(luò)整理

  高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之二次函數(shù)!元旦大家過的如何?這個(gè)小長假之后就要迎來期末診斷了。二次函數(shù)是大家初中就學(xué)過的,比較熟悉,新的函數(shù)實(shí)在這個(gè)函數(shù)的基礎(chǔ)上加深了難度。大家一定要注重基礎(chǔ)。愛智康助力期末診斷,下面是高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之二次函數(shù)希望對(duì)同學(xué)們有幫助!

 

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  高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之二次函數(shù)(一)


  I.定義與定義表達(dá)式


  一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時(shí),開口方向向上,a<0時(shí),開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)則稱y為x的二次函數(shù)。


  二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。


  II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式


  一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)


  頂點(diǎn)式:y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點(diǎn)P(h,k)]


  交點(diǎn)式:y=a(x-x?)(x-x?)[僅于與x軸有交點(diǎn)A(x?,0)和B(x?,0)的拋物線]


  注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:


  h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a


  III.二次函數(shù)的圖像


  在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像,


  可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。


  IV.拋物線的性質(zhì)


  1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-b/2a。


  對(duì)稱軸與拋物線先進(jìn)的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。


  特別地,當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)


  2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)當(dāng)-b/2a=0時(shí),P在y軸上;當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時(shí),P在x軸上。


  3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。


  當(dāng)a>0時(shí),拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí),拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。


  4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。


  當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0),對(duì)稱軸在y軸左;


  當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱軸在y軸右。


  5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。


  拋物線與y軸交于(0,c)


  6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)


  Δ=b^2-4ac>0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。


  Δ=b^2-4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。


  Δ=b^2-4ac<0時(shí),拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個(gè)式子除以2a)


  高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之二次函數(shù)(二)


  二次函數(shù)與一元二次方程


  特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c,


  當(dāng)y=0時(shí),二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程),即ax^2+bx+c=0。此時(shí),函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。


  函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。


  1.二次函數(shù)y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸如下表:


  解析式


  頂點(diǎn)坐標(biāo)


  對(duì)稱軸


  y=ax^2


  (0,0)


  x=0


  y=a(x-h)^2


  (h,0)


  x=h


  y=a(x-h)^2+k


  (h,k)


  x=h


  y=ax^2+bx+c


  (-b/2a,[4ac-b^2]/4a)


  x=-b/2a


  當(dāng)h>0時(shí),y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到,


  當(dāng)h<0時(shí),則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到.


  當(dāng)h>0,k>0時(shí),將拋物線y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位,再向上移動(dòng)k個(gè)單位,就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;


  當(dāng)h>0,k<0時(shí),將拋物線y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位,再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;


  當(dāng)h<0,k>0時(shí),將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位,再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;


  當(dāng)h<0,k<0時(shí),將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位,再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;


  因此,研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式,可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.


  2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當(dāng)a>0時(shí),開口向上,當(dāng)a<0時(shí)開口向下,對(duì)稱軸是直線x=-b/2a,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).


  3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,當(dāng)x≤-b/2a時(shí),y隨x的增大而減小;當(dāng)x≥-b/2a時(shí),y隨x的增大而增大.若a<0,當(dāng)x≤-b/2a時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x≥-b/2a時(shí),y隨x的增大而減小.


  4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn):


  (1)圖象與y軸一定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c);


  (2)當(dāng)△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0


  (a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?|


  當(dāng)△=0.圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);


  當(dāng)△<0.圖象與x軸沒有交點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí),圖象落在x軸的上方,x為任何實(shí)數(shù)時(shí),都有y>0;當(dāng)a<0時(shí),圖象落在x軸的下方,x為任何實(shí)數(shù)時(shí),都有y<0.


  5.拋物線y=ax^2+bx+c的較值:如果a>0(a<0),則當(dāng)x=-b/2a時(shí),y較小(大)值=(4ac-b^2)/4a.


  頂點(diǎn)的橫坐標(biāo),是取得較值時(shí)的自變量值,頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),是較值的取值.


  6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式


  (1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí),可設(shè)解析式為一般形式:


  y=ax^2+bx+c(a≠0).


  (2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí),可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).


  (3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可設(shè)解析式為兩根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).


  7.二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用,而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此,以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)功課,往往以大題形式出現(xiàn).


  高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之二次函數(shù)(三)


  II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式


  一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)


  頂點(diǎn)式:y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點(diǎn)P(h,k)]


  交點(diǎn)式:y=a(x-x?)(x-x ?) [僅于與x軸有交點(diǎn)A(x? ,0)和 B(x?,0)的拋物線]


  注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:


  h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a


  III.二次函數(shù)的圖像


  在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像,可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。


  IV.拋物線的性質(zhì)


  1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線 x = -b/2a。


  對(duì)稱軸與拋物線先進(jìn)的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地,當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)


  2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為:P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )當(dāng)-b/2a=0時(shí),P在y軸上;當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí),P在x軸上。


  3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。


  當(dāng)a>0時(shí),拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí),拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。


  4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。


  當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0),對(duì)稱軸在y軸左;


  當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱軸在y軸右。


  5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。


  拋物線與y軸交于(0,c)


  6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)


  Δ= b^2-4ac>0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。


  Δ= b^2-4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。


  Δ= b^2-4ac<0時(shí),拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個(gè)式子除以2a)


  V.二次函數(shù)與一元二次方程


  特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c,


  當(dāng)y=0時(shí),二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程),即ax^2+bx+c=0


  此時(shí),函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

 

 

 

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