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高三期末-高三期末數(shù)學之向量運算

2019-01-16 00:13:00  來源:網(wǎng)絡整理

  高三期末-高三期末數(shù)學之向量運算!元旦大家過的如何?這個小長假之后就要迎來期末診斷了。向量運算存在立體幾何的題中,或者是單獨出在選擇題和填空題。愛智康助力期末診斷,下面是高三期末-高三期末數(shù)學之向量運算希望對同學們有幫助!

 

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  高三期末-高三期末數(shù)學之向量運算(一)


  高三期末-高三期末數(shù)學之向量運算(二)


  1、向量的加法


  向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則.


  AB+BC=AC.


  a+b=(x+x',y+y').


  a+0=0+a=a.


  向量加法的運算律:


  交換律:a+b=b+a;


  結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c).


  2、向量的減法


  如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量為0


  AB-AC=CB.即“共同起點,指向被減”


  a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').


  4、數(shù)乘向量


  實數(shù)λ和向量a的乘積是一個向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣.


  當λ>0時,λa與a同方向;


  當λ<0時,λa與a反方向;


  當λ=0時,λa=0,方向任意.


  當a=0時,對于任意實數(shù)λ,都有λa=0.


  注:按定義知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.


  實數(shù)λ叫做向量a的系數(shù),乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮.


  當∣λ∣>1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;


  當∣λ∣<1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍.


  數(shù)與向量的乘法滿足下面的運算律


  結(jié)合律:(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb).


  向量對于數(shù)的分配律(先進分配律):(λ+μ)a=λa+μa.


  數(shù)對于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.


  數(shù)乘向量的消去律:① 如果實數(shù)λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.


  高三期末-高三期末數(shù)學之向量運算(三)


  3、向量的的數(shù)量積


  定義:已知兩個非零向量a,b.作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角,記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π


  定義:兩個向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點積)是一個數(shù)量,記作a?b.若a、b不共線,則a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共線,則a?b=+-∣a∣∣b∣.


  向量的數(shù)量積的坐標表示:a?b=x?x'+y?y'.


  向量的數(shù)量積的運算律


  a?b=b?a(交換律);


  (λa)?b=λ(a?b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);


  (a+b)?c=a?c+b?c(分配律);


  向量的數(shù)量積的性質(zhì)


  a?a=|a|的平方.


  a⊥b 〈=〉a?b=0.


  |a?b|≤|a|?|b|.


  向量的數(shù)量積與實數(shù)運算的主要不同點


  1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,即:(a?b)?c≠a?(b?c);例如:(a?b)^2≠a^2?b^2.


  2、向量的數(shù)量積不滿足消去律,即:由 a?b=a?c (a≠0),推不出 b=c.


  3、|a?b|≠|a|?|b|


  4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.


  4、向量的向量積


  定義:兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量,記作a×b.若a、b不共線,則a×b的模是:∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按這個次序構(gòu)成右手系.若a、b共線,則a×b=0.


  向量的向量積性質(zhì):


  ∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積.


  a×a=0.


  a‖b〈=〉a×b=0.


  向量的向量積運算律


  a×b=-b×a;


  (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);


  (a+b)×c=a×c+b×c.


  注:向量沒有除法,“向量AB/向量CD”是沒有意義的.


  向量的三角形不等式


  1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;


 、 當且僅當a、b反向時,左邊取等號;


 、 當且僅當a、b同向時,右邊取等號.


  2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.


 、 當且僅當a、b同向時,左邊取等號;


 、 當且僅當a、b反向時,右邊取等號.

 

 

 

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