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高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn):集合與函數(shù)概念

2018-11-15 18:46:42  來(lái)源:中國(guó)教育在線

  高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn):集合與函數(shù)概念剛進(jìn)入高中,同學(xué)們應(yīng)該盡快適應(yīng)高中的學(xué)習(xí)生活。高中數(shù)學(xué)跟初中數(shù)學(xué)有很大的不同,好多同學(xué)都說(shuō)為什么高中數(shù)學(xué)這么難學(xué),其實(shí)只要同學(xué)們記住知識(shí)點(diǎn),掌握解題方法,數(shù)學(xué)的難題就迎刃而解了。下面跟隨愛(ài)智康高中部老師一起學(xué)習(xí)一下高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn):集合與函數(shù)概念希望對(duì)同學(xué)們有幫助!

 

 

  高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn):集合與函數(shù)概念


  集合


  集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。這里的“事物”可以是人,物品,也可以是數(shù)學(xué)元素。例如:1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:緊急~。2、數(shù)學(xué)名詞。一組具有某種共同性質(zhì)的數(shù)學(xué)元素:有理數(shù)的~。3、口號(hào)等等。集合在數(shù)學(xué)概念中有好多概念,如集合論:集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念,專門研究集合的理論叫做集合論?低(Cantor,G.F.P.,1845年—1918年,德國(guó)數(shù)學(xué)家先驅(qū),是集合論的創(chuàng)始者,目前集合論的基本思想已經(jīng)滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。


  集合,在數(shù)學(xué)上是一個(gè)基礎(chǔ)概念。什么叫基礎(chǔ)概念?基礎(chǔ)概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念,可通過(guò)直觀、公理的方法來(lái)下“定義”。集合


  集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區(qū)分的對(duì)象匯合在一起,使之成為一個(gè)整體(或稱為單體),這一整體就是集合。組成一集合的那些對(duì)象稱為這一集合的元素(或簡(jiǎn)稱為元)。


  元素與集合的關(guān)系


  元素與集合的關(guān)系有“屬于”與“不屬于”兩種。


  集合與集合之間的關(guān)系


  某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合集合符號(hào),含有有限個(gè)元素叫有限集,含有無(wú)限個(gè)元素叫無(wú)限集,空集是不含任何元素的集,記做Φ?占侨魏渭系淖蛹,是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集,真子集都具有傳遞性!赫f(shuō)明一下:如果集合A的所有元素同時(shí)都是集合B的元素,則A稱作是B的子集,寫作A?B。若A是B的子集,且A不等于B,則A稱作是B的真子集,一般寫作A?B。中學(xué)教材課本里將?符號(hào)下加了一個(gè)≠符號(hào)(如右圖),不要混淆,診斷時(shí)還是要以課本為準(zhǔn)。所有男人的集合是所有人的集合的真子集!


  集合的幾種運(yùn)算法則


  并集:以屬于A或?qū)儆贐的元素為元素的集合稱為A與B的并(集),記作A∪B(或B∪A),讀作“A并B”(或“B并A”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}交集:以屬于A且屬于B的元差集表示


  素為元素的集合稱為A與B的交(集),記作A∩B(或B∩A),讀作“A交B”(或“B交A”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}例如,全集U={1,2,3,4,5}A={1,3,5}B={1,2,5}。那么因?yàn)锳和B中都有1,5,所以A∩B={1,5}。再來(lái)看看,他們兩個(gè)中含有1,2,3,5這些個(gè)元素,不管多少,反正不是你有,就是我有。那么說(shuō)A∪B={1,2,3,5}。圖中的陰影部分就是A∩B。有趣的是;例如在1到105中不是3,5,7的整倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)。結(jié)果是3,5,7每項(xiàng)減集合


  1再相乘。48個(gè)。對(duì)稱差集:設(shè)A,B為集合,A與B的對(duì)稱差集A?B定義為:A?B=(A-B)∪(B-A)例如:A={a,b,c},B={b,d},則A?B={a,c,d}對(duì)稱差運(yùn)算的另一種定義是:A?B=(A∪B)-(A∩B)無(wú)限集:定義:集合里含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集有限集:令N*是正整數(shù)的全體,且N_n={1,2,3,……,n},如果存在一個(gè)正整數(shù)n,使得集合A與N_n一一對(duì)應(yīng),那么A叫做有限集合。差:以屬于A而不屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的差(集)。記作:A\B={x│x∈A,x不屬于B}。注:空集包含于任何集合,但不能說(shuō)“空集屬于任何集合”.補(bǔ)集:是從差集中引出的概念,指屬于全集U不屬于集合A的元素組成的集合稱為集合A的補(bǔ)集,記作CuA,即CuA={x|x∈U,且x不屬于A}空集也被認(rèn)為是有限集合。例如,全集U={1,2,3,4,5}而A={1,2,5}那么全集有而A中沒(méi)有的3,4就是CuA,是A的補(bǔ)集。CuA={3,4}。在信息技術(shù)當(dāng)中,常常把CuA寫成~A。


  集合元素的性質(zhì)


  1.確定性:每一個(gè)對(duì)象都能確定是不是某一集合的元素,沒(méi)有確定性就不能成為集合,例如“個(gè)子高的同學(xué)”“很小的數(shù)”都不能構(gòu)成集合。這個(gè)性質(zhì)主要用于判斷一個(gè)集合是否能形成集合。2.獨(dú)立性:集合中的元素的個(gè)數(shù)、集合本身的個(gè)數(shù)必須為自然數(shù)。3.互異性:集合中任意兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象。如寫成{1,1,2},等同于{1,2};ギ愋允辜现械脑厥菦](méi)有重復(fù),兩個(gè)相同的對(duì)象在同一個(gè)集合中時(shí),只能算作這個(gè)集合的一個(gè)元素。4.無(wú)序性:{a,b,c}{c,b,a}是同一個(gè)集合。5.純粹性:所謂集合的純粹性,用個(gè)例子來(lái)表示。集合A={x|x<2},集合A中所有的元素都要符合x<2,這就是集合純粹性。6.完備性:仍用上面的例子,所有符合x<2的數(shù)都在集合A中,這就是集合完備性。完備性與純粹性是遙相呼應(yīng)的。


  集合有以下性質(zhì)


  若A包含于B,則A∩B=A,A∪B=B


  集合的表示方法


  集合常用大寫拉丁字母來(lái)表示,如:A,B,C…而對(duì)于集合中的元素則用小寫的拉丁字母來(lái)表示,如:a,b,c…拉丁字母只是相當(dāng)于集合的名字,沒(méi)有任何實(shí)際的意義。將拉丁字母賦給集合的方法是用一個(gè)等式來(lái)表示的,例如:A={…}的形式。等號(hào)左邊是大寫的拉丁字母,右邊花括號(hào)括起來(lái)的,括號(hào)內(nèi)部是具有某種共同性質(zhì)的數(shù)學(xué)元素。


  常用的有列舉法和描述法。1.列舉法﹕常用于表示有限集合,把集合中的所有元素一一列舉出來(lái)﹐寫在大括號(hào)內(nèi)﹐這種表示集合的方法叫做列舉法。{1,2,3,……}2.描述法﹕常用于表示無(wú)限集合,把集合中元素的公共屬性用文字﹐符號(hào)或式子等描述出來(lái)﹐寫在大括號(hào)內(nèi)﹐這種表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x為該集合的元素的一般形式,P為這個(gè)集合的元素的共同屬性)如:小于π的正實(shí)數(shù)組成的集合表示為:{x|0


  4.自然語(yǔ)言常用數(shù)集的符號(hào):(1)全體非負(fù)整數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集),記作N;不包括0的自然數(shù)集合,記作N*(2)非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集,也稱正整數(shù)集,記作Z+;負(fù)整數(shù)集內(nèi)也排除0的集,稱負(fù)整數(shù)集,記作Z-(3)全體整數(shù)的集合通常稱作整數(shù)集,記作Z(4)全體有理數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱有理數(shù)集,記作Q。Q={p/q|p∈Z,q∈N,且p,q互質(zhì)}(正負(fù)有理數(shù)集合分別記作Q+Q-)(5)全體實(shí)數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱實(shí)數(shù)集,記作R(正實(shí)數(shù)集合記作R+;負(fù)實(shí)數(shù)記作R-)(6)復(fù)數(shù)集合計(jì)作C集合的運(yùn)算:集合交換律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合結(jié)合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合


  Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合時(shí),會(huì)遇到有關(guān)集合中的元素個(gè)數(shù)問(wèn)題,我們把有限集合A的元素個(gè)數(shù)記為card(A)。例如A={a,b,c},則card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885年德國(guó)數(shù)學(xué)家,集合論創(chuàng)始人康托爾談到集合一詞,列舉法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求補(bǔ)律A∪CuA=UA∩CuA=Φ設(shè)A為集合,把A的全部子集構(gòu)成的集合叫做A的冪集德摩根律A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)~(BUC)=~B∩~C~(B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊集合的表示復(fù)數(shù)集C實(shí)數(shù)集R正實(shí)數(shù)集R+負(fù)實(shí)數(shù)集R-整數(shù)集Z正整數(shù)集Z+負(fù)整數(shù)集Z-有理數(shù)集Q正有理數(shù)集Q+負(fù)有理數(shù)集Q-不含0的有理數(shù)集Q*


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