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初三數(shù)學二次函數(shù)

2018-07-26 22:37:27  來源:網(wǎng)絡整理

  初三數(shù)學二次函數(shù)!同學們了解二次函數(shù)嗎?二次函數(shù)的基本表示形式為y=ax²+bx+c(a≠0)。二次函數(shù)較高次必須為二次, 二次函數(shù)的圖像是一條對稱軸與y軸平行或重合于y軸的拋物線。下面為大家分享初三數(shù)學二次函數(shù)!希望能幫到大家!

 

 

  初三數(shù)學二次函數(shù)知識點總結


  1.二次函數(shù)的常見考法


  (1)考查一些帶約束條件的二次函數(shù)較值;


  (2)結合二次函數(shù)考查一些創(chuàng)新問題。


  2.二次函數(shù)的實際應用


  在公路、橋梁、隧道、城市建設等很多方面都有拋物線型;生產(chǎn)和生活中,有很多“利潤較大”、“用料較少”、“開支較節(jié)約”、“線路較短”、“面積較大”等問題,它們都有可能用到二次函數(shù)關系,用到二次函數(shù)的較值。


  那么解決這類問題的一般步驟是:


  先進步:設自變量;


  第二步:建立函數(shù)解析式;


  第三步:確定自變量取值范圍;


  第四步:根據(jù)頂點坐標公式或配方法求出較值(在自變量的取值范圍內(nèi))。


  3.二次函數(shù)的判定:


  二次函數(shù)的一般形式中等號右邊是關于自變量x的二次三項式;


  當b=0,c=0時,y=ax2是特殊的二次函數(shù);


  判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù),在關系式是整式的前提下,如果把關系式化簡整理(去括號、合并同類項)后,能寫成(a≠0)的形式,那么這個函數(shù)就是二次函數(shù),否則就不是。


  4.二次函數(shù)的一般形式的結構特征:


 、俸瘮(shù)的關系式是整式;


  ②自變量的較高次數(shù)是2;


 、鄱雾椣禂(shù)不等于零。


  5.二次函數(shù)的解析式:


  (1)一般式:(a,b,c是常數(shù),a≠0);


  (2)頂點式: (a,h,k是常數(shù),a≠0)


  (3)當拋物線與x軸有交點時,即對應二次好方程有實根x1和x2存在時,根據(jù)二次三項式的分解因式,二次函數(shù)可轉化為兩根式。如果沒有交點,則不能這樣表示。


  6.二次函數(shù)的定義:


  一般地,如果(a,b,c是常數(shù),a≠0),那么y叫做x 的二次函數(shù)。


 、偎^二次函數(shù)就是說自變量較高次數(shù)是2;


  ②二次函數(shù)(a≠0)中x、y是變量,a,b,c是常數(shù),自變量x 的取值范圍是全體實數(shù),b和c可以是任意實數(shù),a是不等于0的實數(shù),因為a=0時,變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù),若b=0,則y=c是一個常數(shù)函數(shù)。


 、鄱魏瘮(shù)(a≠0)與一元二次方程(a≠0)有密切聯(lián)系,如果將變量y換成一個常數(shù),那么這個二次函數(shù)就是一個一元二次函數(shù)。


  7.二次函數(shù)拋物線的性質(zhì)


  1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。


  對稱軸與拋物線先進的交點為拋物線的頂點P。


  特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)


  2.拋物線有一個頂點P,坐標為P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )


  當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時,P在x軸上。


  3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。


  當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。


  |a|越大,則拋物線的開口越小。


  4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。


  當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左; 因為若對稱軸在左邊則對稱軸小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同號


  當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0,也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0,所以a、b要異號


  可簡單記憶為左同右異,即當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。


  事實上,b有其自身的幾何意義:拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數(shù)解析式(一次函數(shù))的斜率k的值?赏ㄟ^對二次函數(shù)求導得到。


  5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。


  拋物線與y軸交于(0,c)


  6.拋物線與x軸交點個數(shù)


  Δ= b^2;-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。


  Δ= b^2;-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。


  Δ= b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個式子除以2a)


  當a>0時,函數(shù)在x= -b/2a處取得較小值f(-b/2a)=4ac-b?/4a;在{x|x<-b/2a}上是減函數(shù),在{x|x>-b/2a}上是增函數(shù);拋物線的開口向上;函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變


  當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸,這時,函數(shù)是偶函數(shù),解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)


  7.特殊值的形式


  ①當x=1時 y=a+b+c


 、诋攛=-1時 y=a-b+c


 、郛攛=2時 y=4a+2b+c


 、墚攛=-2時 y=4a-2b+c


  8.定義域:R


  值域:(對應解析式,且只討論a大于0的情況,a小于0的情況請讀者自行推斷)①[(4ac-b^2)/4a,正無窮);②[t,正無窮)


  奇偶性:偶函數(shù)


  周期性:無


  解析式:


 、賧=ax^2+bx+c[一般式]


 、臿≠0


  ⑵a>0,則拋物線開口朝上;a<0,則拋物線開口朝下;


 、菢O值點:(-b/2a,(4ac-b^2)/4a);


 、Δ=b^2-4ac,


  Δ>0,圖象與x軸交于兩點:


  ([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);


  Δ=0,圖象與x軸交于一點:


  (-b/2a,0);


  Δ<0,圖象與x軸無交點;


 、趛=a(x-h)^2+k[頂點式]


  此時,對應極值點為(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a;


  ③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式(雙根式)](a≠0)


  對稱軸X=(X1-X2)/2 當a>0 且X≧(X1+X2)/2時,Y隨X的增大而增大,當a>0且X≦(X1+X2)/2時Y隨X的增大而減小


  此時,x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個交點,將X、Y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連用)。


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