資訊

上海

課程咨詢: 400-810-2680

預(yù)約高中1對1精品課程(面授/在線),滿足學(xué)員個性化學(xué)習(xí)需求 馬上報名↓

獲取驗證碼

請選擇城市

  • 上海

請選擇意向校區(qū)

請選擇年級

請選擇科目

立即體驗
當(dāng)前位置:北京學(xué)而思1對1 > 高中教育 > 高三期末 > 正文
內(nèi)容頁banner-1對1體驗

高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之函數(shù)值域

2019-01-15 22:26:48  來源:網(wǎng)絡(luò)整理

  高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之函數(shù)值域!元旦過后就是緊張的期末診斷了。大家準(zhǔn)備的怎么樣了?函數(shù)求值域部分的題,容易在后面出大題,還有增減函數(shù)會一起出,大家好好復(fù)習(xí)各種求法。愛智康助力期末診斷,下面是高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之函數(shù)值域希望對同學(xué)們有幫助!

 

想要了解【高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法】的相關(guān)資料,請點擊加入【愛智康高中交流福利群】愛智康高中交流福利群 ,并直接向管理員“小康康”索取!愛智康高中交流福利群會不定期免費發(fā)放學(xué)習(xí)資料,高中以及高考政策等相關(guān)消息,請持續(xù)關(guān)注!  

 

 

  高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之函數(shù)值域(一)


  一.觀察法


  通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察,結(jié)合函數(shù)的解析式,求得函數(shù)的值域。


  例1求函數(shù)y=3+√(2-3x) 的值域。


  點撥:根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì),先求出√(2-3x) 的值域。


  解:由算術(shù)平方根的性質(zhì),知√(2-3x)≥0,


  故3+√(2-3x)≥3。


  ∴函數(shù)的值域為{y∣y≥3}.


  點評:算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性,即:(1)被開方數(shù)的非負(fù)性,(2)值的非負(fù)性。


  本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解,這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法,簡捷明了,不失為一種巧法。


  訓(xùn)練:求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域為:{0,1,2,3,4,5})


  二.反函數(shù)法


  當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時,則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。


  例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。


  點撥:先求出原函數(shù)的反函數(shù),再求出其定義域。


  解:顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數(shù),故函數(shù)y的值域為{y∣y≠1,y∈R}。


  點評:利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想,是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。


  訓(xùn)練:求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函數(shù)的值域為{y∣y<-1或y>1})


  三.配方法


  當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時,可以利用配方法求函數(shù)值域


  例3:求函數(shù)y=√(-x2+x+2)的值域。


  點撥:將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù),利用二次函數(shù)的較值求。


  解:由-x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域為x∈[-1,2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]


  ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2]


  點評:求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。


  訓(xùn)練:求函數(shù)y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})


  四.判別式法


  若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。


  例4求函數(shù)y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。


  點撥:將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程,應(yīng)用二次方程根的判別式,從而確定出原函數(shù)的值域。


  解:將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)


  當(dāng)y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2


  當(dāng)y=2時,方程(*)無解。∴函數(shù)的值域為2


  點評:把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0,由于方程有實數(shù)解,故其判別式為非負(fù)數(shù),可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。


  訓(xùn)練:求函數(shù)y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域為y≤-8或y>0)。


  高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之函數(shù)值域(二)


  五.較值法


  對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的較值,可得到函數(shù)y的值域。


  例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。


  點撥:根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍,將目標(biāo)函數(shù)消元、配方,可求出函數(shù)的值域。


  解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,將y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),


  ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù),故只需比較邊界的大小。


  當(dāng)x=-1時,z=-5;當(dāng)x=3/2時,z=15/4。


  ∴函數(shù)z的值域為{z∣-5≤z≤15/4}。


  點評:本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的較值。對開區(qū)間,若存在較值,也可通過求出較值而獲得函數(shù)的值域。


  訓(xùn)練:若√x為實數(shù),則函數(shù)y=x2+3x-5的值域為 ()


  A.(-∞,+∞)B.[-7,+∞]C.[0,+∞)D.[-5,+∞)


  (答案:D)。


  六.圖象法


  通過觀察函數(shù)的圖象,運用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。


  例6求函數(shù)y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。


  點撥:根據(jù)少有值的意義,去掉符號后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),作出其圖象。


  解:原函數(shù)化為


  -2x+1(x≤1)


  y= 3(-1


  2x-1(x>2)


  它的圖象如圖所示。


  顯然函數(shù)值y≥3,所以,函數(shù)值域[3,+∞]。


  點評:分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點。利用函數(shù)的圖象


  求函數(shù)的值域,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問題的重要方法。


  求函數(shù)值域的方法較多,還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。


  七.單調(diào)法


  利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。


  例1求函數(shù)y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。


  點撥:由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù),即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x),其定義域為x≤1/3,在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性,從而確定函數(shù)的值域。


  解:設(shè)f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù),從而y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x


  在定義域為x≤1/3上也為增函數(shù),而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函數(shù)值域為{y|y≤4/3}。


  點評:利用單調(diào)性求函數(shù)的值域,是在函數(shù)給定的區(qū)間上,或求出函數(shù)隱含的區(qū)間,結(jié)合函數(shù)的增減性,求出其函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值,進而可確定函數(shù)的值域。


  訓(xùn)練:求函數(shù)y=3+√4-x的值域。(答案:{y|y≥3})


  八.換元法


  以新變量代替函數(shù)式中的某些量,使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式,進而求出值域。


  例2求函數(shù)y=x-3+√2x+1 的值域。


  點撥:通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個變量的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的較值,確定原函數(shù)的值域。


  解:設(shè)t=√2x+1 (t≥0),則


  x=1/2(t2-1)。


  于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.


  所以,原函數(shù)的值域為{y|y≥-7/2}。


  點評:將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),通過求出二次函數(shù)的較值,從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。


  訓(xùn)練:求函數(shù)y=√x-1 –x的值域。(答案:{y|y≤-3/4}


  高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之函數(shù)值域(三)


  九.構(gòu)造法


  根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,賦予幾何圖形,數(shù)形結(jié)合。


  例3求函數(shù)y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。


  點撥:將原函數(shù)變形,構(gòu)造平面圖形,由幾何知識,確定出函數(shù)的值域。


  解:原函數(shù)變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22


  作一個長為4、寬為3的矩形ABCD,再切割成12個單位


  正方形。設(shè)HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,


  KC=√(x+2)2+1 。


  由三角形三邊關(guān)系知,AK+KC≥AC=5。當(dāng)A、K、C三點共


  線時取等號。


  ∴原函數(shù)的值域為{y|y≥5}。


  點評:對于形如函數(shù)y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數(shù)),均可通過構(gòu)造幾何圖形,由幾何的性質(zhì),直觀明了、方便簡捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。


  訓(xùn)練:求函數(shù)y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。(答案:{y|y≥5√2})


  十.比例法


  對于一類含條件的函數(shù)的值域的求法,可將條件轉(zhuǎn)化為比例式,代入目標(biāo)函數(shù),進而求出原函數(shù)的值域。


  例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函數(shù)z=x2+y2的值域。


  點撥:將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化為比例式,設(shè)置參數(shù),代入原函數(shù)。


  解:由3x-4y-5=0變形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))


  ∴x=3+4k,y=1+3k,


  ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。


  當(dāng)k=-3/5時,x=3/5,y=-4/5時,zmin=1。


  函數(shù)的值域為{z|z≥1}.


  點評:本題是多元函數(shù)關(guān)系,一般含有約束條件,將條件轉(zhuǎn)化為比例式,通過設(shè)參數(shù),可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式,這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法,具有一定的創(chuàng)新意識。


  訓(xùn)練:已知x,y∈R,且滿足4x-y=0,求函數(shù)f(x,y)=2x2-y的值域。(答案:{f(x,y)|f(x,y)≥1})


  十一.利用多項式的除法


  例5求函數(shù)y=(3x+2)/(x+1)的值域。


  點撥:將原分式函數(shù),利用長除法轉(zhuǎn)化為一個整式與一個分式之和。


  解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。


  ∵1/(x+1)≠0,故y≠3。


  ∴函數(shù)y的值域為y≠3的一切實數(shù)。


  點評:對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。


  訓(xùn)練:求函數(shù)y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案:y≠2)


  十二.不等式法


  例6求函數(shù)Y=3x/(3x+1)的值域。


  點撥:先求出原函數(shù)的反函數(shù),根據(jù)自變量的取值范圍,構(gòu)造不等式。


  解:易求得原函數(shù)的反函數(shù)為y=log3[x/(1-x)],


  由對數(shù)函數(shù)的定義知x/(1-x)>0


  1-x≠0


  解得:0


  ∴函數(shù)的值域(0,1)。


  點評:考查函數(shù)自變量的取值范圍構(gòu)造不等式(組)或構(gòu)造重要不等式,求出函數(shù)定義域,進而求值域。不等式法是重要的解題工具,它的應(yīng)用非常廣泛。是數(shù)學(xué)解題的方法之一。


  以下供訓(xùn)練選用:求下列函數(shù)的值域


  1.Y=√(15-4x)+2x-5;({y|y≤3})


  2.Y=2x/(2x-1)。(y>1或y<0)


  注意變量哦

 

 

 

 

  小編推薦:

 

  高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之增減函數(shù)

  高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之奇偶函數(shù)

  高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之函數(shù)定義域

 

 

   愛智康高中教育頻道分享的高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之值域;到這里就結(jié)束啦,有關(guān)高中高一其它問題,請直接撥打免費咨詢電話:有專業(yè)老師幫大家解答

文章下長方圖-高三一輪復(fù)習(xí)史地政資料
立即領(lǐng)取中小學(xué)熱門學(xué)習(xí)資料
*我們在24小時內(nèi)與您取得電話聯(lián)系
側(cè)邊圖-寒假1對1