泰勒公式

2018-07-21 22:54:33 　來(lái)源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　泰勒公式！數(shù)學(xué)中，泰勒公式是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠平滑的話(huà)，在已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似函數(shù)在這一點(diǎn)的鄰域中的值。下面為大家分享泰勒公式!希望能幫到大家！

泰勒公式

公式描述：泰勒公式可以用若干項(xiàng)連加式來(lái)表示一個(gè)函數(shù)，這些相加的項(xiàng)由函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)求得。

　　驗(yàn)證推導(dǎo)

公式推導(dǎo)我們知道，根據(jù)拉格朗日中值定理導(dǎo)出的有限增量定理有：

于是：

其中誤差α是在Δx→0即x→x0的前提下才趨向于0，所以在近似中往往不夠準(zhǔn)確。于是我們需要一個(gè)能夠足夠準(zhǔn)確的且能估計(jì)出誤差的多項(xiàng)式：

來(lái)近似地表示函數(shù)f(x)且要寫(xiě)出其誤差f(x)-P(x)的具體表達(dá)式。設(shè)函數(shù)P(x)滿(mǎn)足：

于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An，顯然有：

，所以

;

，所以

;

，所以

;

，所以

;至此，多項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)都已求出，得：

以上就是函數(shù)

的泰勒展開(kāi)式。接下來(lái)就要求誤差的具體表達(dá)式了。設(shè)

，令

得到：

進(jìn)而：

根據(jù)柯西中值定理：

其中θ1在x和x0之間;繼續(xù)使用柯西中值定理得到：

其中θ2在θ1和x0之間;連續(xù)使用n+1次后得到：

其中θ在x和x0之間;同時(shí)：

而：

進(jìn)而：

綜上可得：

一般來(lái)說(shuō)展開(kāi)函數(shù)時(shí)都是為了的需要，故x往往要取一個(gè)定值，此時(shí)也可把Rn(x)寫(xiě)為Rn。 [1]

麥克勞林展開(kāi)函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)指上面泰勒公式中x0取0的情況，即是泰勒公式的特殊形式，若f(x)在x=0處n階連續(xù)可導(dǎo)，則下式成立：

其中

表示f(x)的n階導(dǎo)數(shù)。當(dāng)

，其中δ在0與x之間時(shí)，公式稱(chēng)為拉格朗日型余項(xiàng)的n階麥克勞林公式;當(dāng)

時(shí)公式稱(chēng)為帶佩亞諾型余項(xiàng)的n階麥克勞林公式。 [1]

近似表達(dá)正弦函數(shù)

θ的性質(zhì)編輯n階泰勒公式中的余項(xiàng)寫(xiě)成如下形式的拉格朗日余項(xiàng)：

那么其中的θ的有一個(gè)重要性質(zhì)：當(dāng)

在

點(diǎn)連續(xù)，且

，則

。證明因?yàn)?1)

，

。(2)

，

。(3)

，

。[(1)-(2)](n+1)!/[(△x)^(n+1)]得：(4)

。(3)/(4)得

由于

在

點(diǎn)連續(xù)，且

，所以

。 [1]

公式應(yīng)用

實(shí)際應(yīng)用中，泰勒公式需要截?cái)�，只取有限�?xiàng)，一個(gè)函數(shù)的有限項(xiàng)的泰勒級(jí)數(shù)叫做泰勒展開(kāi)式。泰勒公式的余項(xiàng)可以用于估算這種近似的誤差。泰勒展開(kāi)式的重要性體現(xiàn)在以下五個(gè)方面：

冪級(jí)數(shù)的求導(dǎo)和積分可以逐項(xiàng)進(jìn)行，因此求和函數(shù)相對(duì)比較容易。

一個(gè)解析函數(shù)可被延伸為一個(gè)定義在復(fù)平面上的一個(gè)開(kāi)片上的解析函數(shù)，并使得復(fù)分析這種手法可行。

泰勒級(jí)數(shù)可以用來(lái)近似函數(shù)的值，并估計(jì)誤差。

證明不等式。

求待定式的極限。 [1]

實(shí)例例1、展開(kāi)三角函數(shù)y=sinx和y=cosx。解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)表得：

顯然y=sinx在x=0處具有任意階導(dǎo)數(shù)，并且

。根據(jù)麥克勞林公式：

類(lèi)似地，可以展開(kāi)y=cosx。例2、當(dāng)

時(shí)，證明

。證明：函數(shù)

在

點(diǎn)處的二階泰勒公式為

在

時(shí)，顯然成立

，即

。例3、求極限

。解：利用(1)

;(2)

;(3)

;(4)

;可得

。例4、近似值

，并估計(jì)誤差。解：對(duì)指數(shù)函數(shù)

運(yùn)用麥克勞林展開(kāi)式并舍棄余項(xiàng)：

當(dāng)x=1時(shí)：

取n=10，即可算出近似值e≈2.7182818。誤差為

例5、歐拉公式：

(其中

，即一個(gè)虛數(shù)單位)證明：由于在實(shí)數(shù)范圍以?xún)?nèi)，

將該式子擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系內(nèi)以定義指數(shù)函數(shù)，得到

特別地，當(dāng)上式z=ib時(shí)，有

把上面的b換成x，就得到了歐拉公式。由歐拉公式，對(duì)任意一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+ib，有

即復(fù)數(shù)z的指數(shù)函數(shù)依然是一個(gè)復(fù)數(shù)，這個(gè)復(fù)數(shù)的模r=ea，幅角θ=b。若b=0，則ez=ea(cos0+isin0)=ea(1+0)=ea，與實(shí)變函數(shù)f(x)=ex在x=a時(shí)的函數(shù)值相同。

　　導(dǎo)數(shù)的解題方法與技巧-高中數(shù)學(xué)選修2-2先進(jìn)章

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