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北京高二數(shù)學(xué)函數(shù)值域求法

2016-07-04 10:08:43  來源:網(wǎng)絡(luò)整理

  數(shù)學(xué)和我們的生活息息相關(guān),我們應(yīng)該正確看待它,將所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活當(dāng)中去,真正做到學(xué)以致用。數(shù)學(xué)是高考中的可能會(huì)考科目,高二數(shù)學(xué)在高中整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段起著承上啟下的作用,同學(xué)們一定要學(xué)好高二數(shù)學(xué)。下面是愛智康高考頻道小編整理的北京高二數(shù)學(xué)函數(shù)值域求法,希望給同學(xué)們帶來一定的幫助。

北京高二數(shù)學(xué)函數(shù)值域


  一.反函數(shù)法


  當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí),則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。


  例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。


  點(diǎn)撥:先求出原函數(shù)的反函數(shù),再求出其定義域。


  解:顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域?yàn)閥≠1的實(shí)數(shù),故函數(shù)y的值域?yàn)閧y∣y≠1,y∈R}。


  點(diǎn)評(píng):利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想,是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。


  訓(xùn)練:求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函數(shù)的值域?yàn)閧y∣y<-1或y>1})


  二.觀察法


  通過對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察,結(jié)合函數(shù)的解析式,求得函數(shù)的值域。


  例1求函數(shù)y=3+√(2-3x) 的值域。


  點(diǎn)撥:根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì),先求出√(2-3x) 的值域。


  解:由算術(shù)平方根的性質(zhì),知√(2-3x)≥0,


  故3+√(2-3x)≥3。


  ∴函數(shù)的值域?yàn)閧y∣y≥3}.


  點(diǎn)評(píng):算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性,即:(1)被開方數(shù)的非負(fù)性,(2)值的非負(fù)性。


  本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解,這種方法對(duì)于一類函數(shù)的值域的求法,簡(jiǎn)捷明了,不失為一種巧法。


  訓(xùn)練:求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域?yàn)椋簕0,1,2,3,4,5})


  三.配方法


  當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí),可以利用配方法求函數(shù)值域


  例3:求函數(shù)y=√(-x2+x+2)的值域。


  點(diǎn)撥:將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù),利用二次函數(shù)的較值求。


  解:由-x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域?yàn)閤∈[-1,2]。此時(shí)-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]


  ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2]


  點(diǎn)評(píng):求函數(shù)的值域不但要重視對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。


  訓(xùn)練:求函數(shù)y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域?yàn)閧y∣y≤3})


  四.判別式法


  若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。


  例4求函數(shù)y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。


  點(diǎn)撥:將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程,應(yīng)用二次方程根的判別式,從而確定出原函數(shù)的值域。


  解:將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)


  當(dāng)y≠2時(shí),由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2


  當(dāng)y=2時(shí),方程(*)無解。∴函數(shù)的值域?yàn)?


  點(diǎn)評(píng):把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0,由于方程有實(shí)數(shù)解,故其判別式為非負(fù)數(shù),可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。


  訓(xùn)練:求函數(shù)y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域?yàn)閥≤-8或y>0)。


  五.較值法


  對(duì)于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的較值,可得到函數(shù)y的值域。


  例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。


  點(diǎn)撥:根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍,將目標(biāo)函數(shù)消元、配方,可求出函數(shù)的值域。


  解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,將y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),


  ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù),故只需比較邊界的大小。


  當(dāng)x=-1時(shí),z=-5;當(dāng)x=3/2時(shí),z=15/4。


  ∴函數(shù)z的值域?yàn)閧z∣-5≤z≤15/4}。


  點(diǎn)評(píng):本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的較值。對(duì)開區(qū)間,若存在較值,也可通過求出較值而獲得函數(shù)的值域。


  訓(xùn)練:若√x為實(shí)數(shù),則函數(shù)y=x2+3x-5的值域?yàn)?()


  A.(-∞,+∞)B.[-7,+∞]C.[0,+∞)D.[-5,+∞)


  (答案:D)。


  六.圖象法


  通過觀察函數(shù)的圖象,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。


  例6求函數(shù)y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。


  點(diǎn)撥:根據(jù)少有值的意義,去掉符號(hào)后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),作出其圖象。


  解:原函數(shù)化為


  -2x+1(x≤1)


  y=3(-1


  2x-1(x>2)


  它的圖象如圖所示。


  顯然函數(shù)值y≥3,所以,函數(shù)值域[3,+∞]。


  點(diǎn)評(píng):分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點(diǎn)。利用函數(shù)的圖象


  求函數(shù)的值域,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問題的重要方法。


  求函數(shù)值域的方法較多,還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。

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