高中數學導數知識點

2016-05-25 11:27:25 　來源：網絡整理

　　導數(Derivative)是微積分中的重要基礎概念。當函數y=f(x)的自變量X在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f‘(x0)或df/dx(x0)。

　　導數的定義：

　　當自變量的增量Δx=x-x0，Δx→0時函數增量Δy=f(x)-f(x0)與自變量增量之比的極限存在且有限，就說函數f在x0點可導，稱之為f在x0點的導數(或變化率)。

　　函數y=f(x)在x0點的導數f’(x0)的幾何意義：表示函數曲線在P0[x0，f(x0)]點的切線斜率(導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率)。

　　一般地，我們得出用函數的導數來判斷函數的增減性(單調性)的法則：設y=f(x)在(a，b)內可導。如果在(a，b)內，f‘(x)>0，則f(x)在這個區(qū)間是單調增加的(該點切線斜率增大，函數曲線變得“陡峭”，呈上升狀)。如果在(a，b)內，f’(x)<0，則f(x)在這個區(qū)間是單調減小的。所以，當f‘(x)=0時，y=f(x)有極大值或極小值，極大值中較大者是較大值，極小值中較小者是較小值

　　求導數的步驟：

　　求函數y=f(x)在x0處導數的步驟：

　�、偾蠛瘮档脑隽�Δy=f(x0+Δx)-f(x0)②求平均變化率③取極限，得導數。

　　導數公式：

　�、貱’=0(C為常數函數)；②(x^n)‘=nx^(n-1)(n∈Q*)；熟記1/X的導數③(sinx)’=cosx；(cosx)‘=-sinx；(tanx)’=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2-(cotx)‘=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2(secx)’=tanx？secx(cscx)‘=-cotx？cscx(arcsinx)’=1/(1-x^2)^1/2(arccosx)‘=-1/(1-x^2)^1/2(arctanx)’=1/(1+x^2)(arccotx)‘=-1/(1+x^2)(arcsecx)’=1/(|x|(x^2-1)^1/2)(arccscx)‘=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)④(sinhx)’=hcoshx(coshx)‘=-hsinhx(tanhx)’=1/(coshx)^2=(sechx)^2(coth)‘=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2(sechx)’=-tanhx？sechx(cschx)‘=-cothx？cschx(arsinhx)’=1/(x^2+1)^1/2(arcoshx)‘=1/(x^2-1)^1/2(artanhx)’=1/(x^2-1)(|x|<1)(arcothx)‘=1/(x^2-1)(|x|>1)(arsechx)’=1/(x(1-x^2)^1/2)(arcschx)‘=1/(x(1+x^2)^1/2)⑤(e^x)’=e^x；(a^x)‘=a^xlna(ln為自然對數)(Inx)’=1/x(ln為自然對數)(logax)‘=(xlna)^(-1)，(a>0且a不等于1)(x^1/2)’=[2(x^1/2)]^(-1)(1/x)‘=-x^(-2)

　　導數的應用：

　　1。函數的單調性

　　(1)利用導數的符號判斷函數的增減性利用導數的符號判斷函數的增減性，這是導數幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個應用，它充分體現了數形結合的思想。一般地，在某個區(qū)間(a，b)內，如果f’(x)>0，那么函數y=f(x)在這個區(qū)間內單調遞增；如果f‘(x)<0，那么函數y=f(x)在這個區(qū)間內單調遞減。如果在某個區(qū)間內恒有f’(x)=0，則f(x)是常數函數。注意：在某個區(qū)間內，f‘(x)>0是f(x)在此區(qū)間上為增函數的充分條件，而不是必要條件，如f(x)=x3在R內是增函數，但x=0時f’(x)=0。也就是說，如果已知f(x)為增函數，解題時就必須寫f‘(x)≥0。(2)求函數單調區(qū)間的步驟(不要按圖索驥緣木求魚這樣創(chuàng)新何言？1。定義較基礎求法2。復合函數單調性)①確定f(x)的定義域；②求導數；③由(或)解出相應的x的范圍。當f’(x)>0時，f(x)在相應區(qū)間上是增函數；當f‘(x)<0時，f(x)在相應區(qū)間上是減函數。

　　2。函數的極值

　　(1)函數的極值的判定①如果在兩側符號相同，則不是f(x)的極值點；②如果在附近的左右側符號不同，那么，是極大值或極小值。

　　3。求函數極值的步驟

　�、俅_定函數的定義域；②求導數；③在定義域內求出所有的駐點與導數不存在的點，即求方程及的所有實根；④檢查在駐點左右的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值。

　　4。函數的較值

　　(1)如果f(x)在[a，b]上的較大值(或較小值)是在(a，b)內一點處取得的，顯然這個較大值(或較小值)同時是個極大值(或極小值)，它是f(x)在(a，b)內所有的極大值(或極小值)中較大的(或較小的)，但是較值也可能在[a，b]的端點a或b處取得，極值與較值是兩個不同的概念。(2)求f(x)在[a，b]上的較大值與較小值的步驟①求f(x)在(a，b)內的極值；②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中較大的一個是較大值，較小的一個是較小值。

　　5。生活中的優(yōu)化問題

　　生活中經常遇到求利潤較大、用料較省、效率較高等問題，這些問題稱為優(yōu)化問題，優(yōu)化問題也稱為較值問題。解決這些問題具有非�，F實的意義。這些問題通�？梢赞D化為數學中的函數問題，進而轉化為求函數的較大(小)值問題。