預(yù)約高中1對1精品課程(面授/在線)，滿足學員個性化學習需求 馬上報名↓
題型一 古典概型問題
例1 某班級的某一小組有6位孩子，其中4位男生，2位女生，現(xiàn)從中選取2位孩子參加班級志愿者小組，求下列事件的概率：
(1)選取的2位孩子都是男生;
(2)選取的2位孩子一位是男生，另一位是女生.
破題切入點 先求出任取2位孩子的基本事件的總數(shù)，然后分別求出所求的兩個事件含有的基本事件數(shù)，再利用古典概型概率公式求解.
解 (1)設(shè)4位男生的編號分別為1,2,3,4,2位女生的編號分別為5,6.從6位孩子中任取2位孩子的所有可能結(jié)果為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15種.
從6位孩子中任取2位孩子，所取的2位全是男生的方法數(shù)，即從4位男生中任取2個的方法數(shù)，共有6種，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4).
所以選取的2位孩子全是男生的概率為P1==.
(2)從6位孩子中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8種.
所以選取的2位孩子一位是男生，另一位是女生的概率為P2=.
題型二 幾何概型問題
例2 (2013·四川改編)節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的先進次閃亮相互獨立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時通電后，它們先進次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是________.
破題切入點 由幾何概型的特點，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.
答案
解析
設(shè)在通電后的4秒鐘內(nèi)，甲串彩燈、乙串彩燈先進次亮的時刻為x、y，x、y相互獨立，由題意可知，如圖所示.∴兩串彩燈先進次亮的時間相差不超過2秒的概率為P(|x-y|≤2)=
===.
題型三 古典概型與幾何概型的綜合問題
例3 已知關(guān)于x的一元二次方程9x2+6ax-b2+4=0，a，b∈R.
(1)若a是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求已知方程有兩個不相等實根的概率;
(2)若a是從區(qū)間[0,3]內(nèi)任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]內(nèi)任取的一個數(shù)，求已知方程有實數(shù)根的概率.
破題切入點 本題中含有兩個參數(shù)，顯然要將問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的一元二次方程有解的條件問題.
第(1)問利用列舉法將基本事件羅列出來，再結(jié)合題意求解.
第(2)問將a，b滿足的不等式轉(zhuǎn)化為可行域——平面區(qū)域問題，從而利用幾何概型的概率公式求解.
解 設(shè)事件A為“方程9x2+6ax-b2+4=0有兩個不相等的實數(shù)根”;事件B為“方程9x2+6ax-b2+4=0有實數(shù)根”.
(1)由題意，知基本事件共9個，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中先進個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值.
由Δ=36a2-36(-b2+4)=36a2+36b2-36×4>0，得a2+b2>4.
事件A要求a，b滿足條件a2+b2>4，可知包含6個基本事件：(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，
所以方程有兩個不相同實根的概率P(A)==.
(2)由題意，方程有實根的區(qū)域為圖中陰影部分，
故所求概率為：
P(B)==1-.
總結(jié)提高 (1)求解古典概型問題的三個步驟
�、倥袛啾敬卧囼灥慕Y(jié)果是否是等可能的，設(shè)出所求事件A.
②分別基本事件的總數(shù)n和所求事件A所包含的基本事件的個數(shù)m.
�、劾霉诺涓判偷母怕使絇(A)=求出事件A的概率.若直接求解比較困難，則可以利用間接的方法，如逆向思維，先求其對立事件的概率，進而再求所求事件的概率.
(2)幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點的試驗，如果一個隨機試驗有無限多個等可能的基本結(jié)果，每個基本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點來表示，而所有基本結(jié)果對應(yīng)于一個區(qū)域Ω，這時，與試驗有關(guān)的問題即可利用幾何概型來解決決.
(3)幾何概型的概率求解，一般要將問題轉(zhuǎn)化為長度、面積或體積等幾何問題.在轉(zhuǎn)化中，面積問題的求解常常用到線性規(guī)劃知識，也就是用二元一次不等式(或其他簡單不等式)組表示區(qū)域.幾何概型的試驗中事件A的概率P(A)只與其所表示的區(qū)域的幾何度量(長度、面積或體積)有關(guān)，而與區(qū)域的位置和形狀無關(guān).
1.從標有1,2,3，…，7的7個小球中取出一球，記下它上面的數(shù)字，放回后再取出一球，記下它上面的數(shù)字，然后把兩數(shù)相加得和，則取得的兩球上的數(shù)字之和大于11或者能被4整除的概率是________.
答案
2.已知實數(shù)a，b滿足x1，x2是關(guān)于x的方程x2-2x+b-a+3=0的兩個實根，則不等式00，f(1)<0，即建立平面直角坐標系如圖.
滿足題意的區(qū)域為圖中陰影部分，故所求概率P==.
3.(2014·陜西改編)從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為________.
答案
解析 取兩個點的所有情況為10種，所有距離不小于正方形邊長的情況有6種，概率為=.
4.有一底面半徑為1，高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________.
答案
解析 設(shè)點P到點O的距離小于等于1的概率為P1，由幾何概型，則P1===，故點P到點O的距離大于1的概率P=1-=.
5.在面積為S的矩形ABCD內(nèi)隨機取一點P，則△PBC的面積小于的概率是________.
答案
解析
如圖，M，N分別為AB，CD中點，
當點P位于陰影部分時，
△PBC的面積小于，根據(jù)幾何概型，其概率為P==.
6.已知點A在坐標原點，點B在直線y=1上，點C(3,4)，若AB≤，則△ABC的面積大于5的概率是________.
答案
解析 設(shè)B(x,1)，根據(jù)題意知點D(，1)，
若△ABC的面積小于或等于5，則×DB×4≤5，即DB≤，
所以點B的橫坐標x∈[-，]，而AB≤，
所以點B的橫坐標x∈[-3,3]，所以△ABC的面積小于或等于5的概率為
P==，
所以△ABC的面積大于5的概率是1-P=.
7.(2013·湖北)在區(qū)間[-2,4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m=________.
答案 3
解析 由|x|≤m，得-m≤x≤m.
當m≤2時，由題意得=，解得m=2.5，矛盾，舍去.
當2n.
如圖，由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點Q(m，n)，點Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線m=n恰好將矩形平分，
∴所求的概率為P=.
9.(2013·江蘇)現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為______.
答案
解析 P==.
10.平面內(nèi)有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為3 cm，把一枚半徑為1 cm的硬幣任意投擲在這個平面內(nèi)，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是________.
答案
解析 如圖所示，當硬幣中心落在陰影區(qū)域時，硬幣不與任何一條平行線相碰，故所求概率為.
11.已知向量a=(-2,1)，b=(x，y).
(1)若x、y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時先進次、第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足a·b=-1的概率;
(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，求滿足a·b<0的概率.
解 (1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為6×6=36(個);
由a·b=-1有-2x+y=-1，
所以滿足a·b=-1的基本事件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個;
故滿足a·b=-1的概率為=.
(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，則全部基本事件的結(jié)果為Ω={(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6};
滿足a·b<0的基本事件的結(jié)果為
A={(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且-2x+y<0};
畫出圖形如圖，
矩形的面積為S矩形=25，
陰影部分的面積為S陰影=25-×2×4=21，
故滿足a·b<0的概率為.
12.某同學參加省學業(yè)水平診斷，物理、化學、生物成績獲得等級A和獲得等級不是A的機會相等，且三個學科成績獲得等級A的事件分別記為W1，W2，W3，獲得等級不是A的事件分別記為，，.
(1)試列舉該同學在這次水平診斷中物理、化學、生物成績是否為A的所有可能結(jié)果(如三科成績均為A記為(W1，W2，W3));
(2)求該同學參加這次水平診斷獲得兩個A的概率;
(3)試設(shè)計一個關(guān)于該同學參加這次水平診斷物理、化學、生物成績情況的事件，使該事件的概率大于85%，并說明理由.
解 (1)該同學在這次水平診斷中物理、化學、生物成績是否為A的可能結(jié)果有8種，分別為(W1，W2，W3)，(，W2，W3)，(W1，，W3)，(W1，W2，)，(，，W3)，(，W2，)，(W1，，)，(，，).
(2)由(1)，知有兩個A的情況為(，W2，W3)，(W1，，W3)，(W1，W2，)，共3種，從而所求概率為P=.
(3)方法一 該同學參加這次水平診斷物理、化學、生物成績不全為A的事件概率大于85%.
理由如下：該同學參加這次水平診斷物理、化學、生物成績不全為A的事件有如下7種情況：(，W2，W3)，(W1，，W3)，(W1，W2，)，(，，W3)，(，W2，)，(W1，，)，(，，，)，
故物理、化學、生物成績不全為A的概率是P1==0.875>85%.
方法二 該同學參加這次水平診斷物理、化學、生物成績至少一個為A的事件概率大于85%.
理由如下：該同學參加這次水平診斷物理、化學、生物成績?nèi)粸锳的事件有1種情況，即(，，)，其概率為，則物理、化學、生物成績至少一個為A的概率為P2=1-=>85%.
Copyright 2005-2021 garagebandforwindow.com. All Rights Reserved.
京ICP備09042963號-16
京公網(wǎng)安備 11010802031911號
聯(lián)系電話：400-810-2680 北京學而思網(wǎng)絡(luò)科技有限公司
違法和不良信息舉報電話：010-60645366 舉報郵箱：1v1jubao@tal.com
你可能感興趣的文章