08高考數(shù)學復習:用向量方法解決軌跡方程

2008-02-03 09:44:03 　來源：城市快報文章作者：李艷杰

　　二、運用兩非零向量共線的充要條件求軌跡方程。

　　例1：已知定點A(2,0)，點P在曲線x2+y2=1(x≠1)上運動，∠AOP的平分線交PA于Q，其中O為原點，求點Q的軌跡方程。

　　解: 設Q(x,y),P(x1,y1)

　　-=(x-2,y)

　　-=( x1-x,y1-y)

　　又∵-=-=-

　　∴ -=2-

　　即：(x-2,y)=2(x1-x,y1-y)

　　解得：-

　　代入x12+y12=1(x≠1)有：

　　-(3x-2)2+-y2=1(x≠-)

　　即所求軌跡方程為：

　　(x--)2+y2=-(x≠-)

　　【點撥】用該方法解此類問題簡單明了，若將Q視為線段AP的定比分點，運用定比分點公式解本題，則過程既繁瑣又容易出錯。

　　例2：設過點P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點，若-=2-,且-·■=1,求P點的軌跡方程。

　　解：-=2-

　　∴P分有向線段-所成的比為2

　　由P(x,y)可得B(0,3y),A(-x,0)

　　∴- =(--x,3y)

　　∵Q與P關于y軸對稱, ∴Q(-x,y),-且 =(-x,y)

　　∴由-·■=1可得-x2+3y2=1(x>0,y>0)

　　即所求點P的軌跡方程為-x2+3y2=1(x>0,y>0)

　　【點撥】求動點軌跡方程時應注意它的完備性與純粹性�；嗊^程破壞了方程的同解性，要注意補上遺漏的點或者挖去多余的點。

　　三、運用兩非零向量垂直的充要條件是求軌跡方程。

　　例1：如圖，過定點A(a,b)任意作相互垂直的直線l1與l2，且l1與x軸相交于M點，l2與y軸相交于N點，求線段MN中點P的軌跡方程。

　　解：設P(x,y)，則M(2x,0)，N(0,2y)

　　-=(2x-a ,-b)

　　-=(-a,2y-b)

　　由-⊥-知-·■=0

　　∴(2x-a)(-a)+(-b)(2y-b)=0

　　即所求點P的軌跡方程為2ax+2by=a2+b2

　　【點撥】用勾股定理解本題，運算繁瑣，若用斜率解本題，又必須分類討論，用向量的方法避免了上述兩種方法的缺陷，使解題優(yōu)化。

　　例2：過拋物線y2=8x的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點，過原點O作OM⊥AB，垂足M，求點M的軌跡方程。

　　解：設M(x,y), OM⊥AB，F(xiàn)(2,0)

　　∵-·■=0且-=(x,y),-=(2-x,-y)

　　∴x(2-x)-y2=0，即：x2+y2-2x=0

　　∴點M的軌跡方程為x2+y2-2x=0

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