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北京期末初中數(shù)學(xué)圖形判定性質(zhì)

2021-01-07 23:49:04  來源:網(wǎng)絡(luò)整理

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北京期末初中數(shù)學(xué)圖形判定性質(zhì)!初中的數(shù)學(xué)高手們會這么做:當(dāng)這道題熟悉了,他就開始放棄了,把大把時間拿來,去攻克自己不熟悉的題目,不斷地把陌生轉(zhuǎn)化為熟悉。他們也在重復(fù),但是,是高水平重復(fù)!下面,小編為大家?guī)?span style="color:#f00;">北京期末初中數(shù)學(xué)圖形判定性質(zhì)。

北京期末初中數(shù)學(xué)圖形判定性質(zhì)

矩形是特殊的平行四邊形,它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì),同時還具有一些獨(dú)特的性質(zhì),可歸結(jié)為三個方面:(1)從邊看:矩形的對邊平行且相等;(2)從角看:矩形的四個角都是直角;(3)從對角線看:矩形的對角線互相平分且相等.判定一個四邊形是矩形可從兩個角度考慮:一是判定它有三個角為直角;二是先判定它為平行四邊形,再判定它有一個角為直角或兩條對角線相等.

【題目呈現(xiàn)】

一,求線段的長

1.如圖,將矩形紙片ABCD的四個角向內(nèi)折起,點(diǎn)A、點(diǎn)B落在點(diǎn)M處,點(diǎn)C、點(diǎn)D落在點(diǎn)N處,恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH,若EH=3㎝,EF=4㎝,求AD的長.

【初中數(shù)學(xué)】矩形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用

【分析】由折疊的性質(zhì)和∠HEM=∠AEH,∠BEF=∠FEM,∴∠HEF=∠HEM十∠FEM=1/2×180°=90°,同理得∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°,∴四邊形EFGH為矩形.∴HG∥EF,HG=EF,∴∠GHN=∠EFM,又∠HNG=∠FME=90°,∴△HNG≌△FME,∴HN=MF,而HN=HD,∴HD=MF,∴AD=AH+HD=HM+MF=HF,∵HF=√(EH²+EF²)=√(3²+4²=5(㎝)∴AD=5㎝.本題通過折疊證出四邊形EFGH為矩形,然后利用三角形全等證出HN=MF,進(jìn)而證出HD=MF,從而將AD轉(zhuǎn)化為直角三角形EFH的斜邊HF得解,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法.

2.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),將△ABE沿AE折疊,使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處,連接CF,求CF的長.

【初中數(shù)學(xué)】矩形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用

【分析】條件有E為BC的中點(diǎn),能想到什么?由△ABE折疊為△AFE,又能想到什么?想到的與CF如何聯(lián)系?這是我們解題首先要考慮的問題,就本題而言,E是BC的中點(diǎn),可想到中位線,另一個中點(diǎn)在哪里呢?由折疊可知,如圖,

【初中數(shù)學(xué)】矩形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用

連接BF,設(shè)AE與BF交于H,則H是BF的中點(diǎn),這樣算出HE的長,可得CF的長,由于AE垂直平分BF,AB=4,BE=3,則AE=5,在Rt△ABE中,由面積法可得BH=12/5,則可算出HE=9/5,∴CF=2HE=18/5.另外由折疊知BE=BF=EC=3,則可得△BFC為直角三角形,∠BFC=90°,由上知BH=12/5,則BF=24/5,又BC=6,在Rt△BFC中由勾股定理可得CF=18/5.

二.判斷圖形的形狀

3.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=5,E,P分別在AD,BC上,且DE=BP=1.

(1)判斷△BEC的形狀,并說明理由.

(2)判斷四邊形EFPH是什么特殊四邊形?并證明你的判斷.

(3)求四邊形EFPH的面積.

【初中數(shù)學(xué)】矩形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用

【分析】(1)△BEC是直角三角形,由于AD=BC=5,AB=CD=2,又DE=1,∴AE=4,在Rt△ABE中,BE²=AB²+AE²=20,在Rt△EDC中,CE²=ED²+CD²=5,而BC²=25,∴BE²十CE²=BC²,∴△BEC是直角三角形.

(2)四邊形EFPH為矩形,∵AD=BC,AD∥BC,DE=BP,∴四邊形DEBP是平行四邊形,∴BE∥DP,又可知AE=CP,AE∥CP,∴四邊形AECP是平行四邊形,∴AP∥CE,∴四邊形EFPH是平行四邊形,又∠BEC=90°,∴四邊形EFPH是矩形.

(3)易知PC=4,PD=2√5,在Rt△PCD中,由于FC⊥PD,則PD×CF=PC×CD,∴CF=4×2/2√5=4√5/5,∴EF=CE一CF=√5/5,在Rt△PFC中,可得PF=8√5/5,∴S矩形EFPH=EF×PF=8/5.

4.如圖,在△ABC中,D是BC邊上一點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),過點(diǎn)A作BC的平行線交CE的延長線于F,且AF=BD,連接BF,若AB=AC,試判斷四邊形AFBD的形狀,并證明你的結(jié)論.

【初中數(shù)學(xué)】矩形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用

【分析】∵AF∥BC,AF=BD,∴四邊形AFBD是平行四邊形,由于E是AD的中點(diǎn),∴AE=DE,由AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE,∴△AFE≌△DCE,∴DC=AF,∵AF=BD,∴DC=BD,又AB=AC,∴AD⊥BC,即∠ADB=90°,∴四邊形AFBD是矩形.

三,求角的度數(shù)

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5.如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.

(1)求證:四邊形ABCD是矩形;

(2)若∠ADF:∠FDC=3:2,DF⊥AC,求∠BDF的度數(shù).

【初中數(shù)學(xué)】矩形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用

【分析】(1)由AO=CO,BO=DO,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠ABC=∠ADC,又∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADC=90°,∴四邊形ABCD是矩形.

(2)∵∠ADC=90°,∠ADF:∠FDC=3:2,∴∠FDC=36°,∵DF⊥AC,∴∠DCO=90°一36°=54°,又∵四邊形ABCD是矩形,∴OC=OD,∴∠ODC=∠DCO=54°,∴∠BDF=∠ODC一∠FDC=54°一36°=18°.

6.如圖,矩形ABCD是邊長為1單位的正方形組成的1×3網(wǎng)格,求證∠1+∠2=45°.

【初中數(shù)學(xué)】矩形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用

【分析】要求∠1+∠2,與條件不好聯(lián)系,應(yīng)想到轉(zhuǎn)化,把∠1與∠2轉(zhuǎn)到一個可的角中,可把原圖形擴(kuò)展為2×3的網(wǎng)格,如圖,

【初中數(shù)學(xué)】矩形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用

AMQD為2×3網(wǎng)格,連接AN,NC,則AN=NC=√5,AC=√10,從而AC²=AN²+NC²,∴∠ANC=90°,則△ANC為等腰直角三角形,∴∠2+∠4=∠CAN=45°,易證△ABF≌△NHC,∴∠1=∠4,∴∠1+∠2=45°.此題對初二同學(xué)來說有一定難度,若能想到轉(zhuǎn)化的思想,也不算太難.

四,求較值

7.如圖,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P為邊BC上一動點(diǎn),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M為EF的中點(diǎn),求AM的較小值.

【初中數(shù)學(xué)】矩形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用

【分析】由AB=3,AC=4,BC=5,則AB²+AC²=BC²,∴∠BAC=90°,又PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,∴四邊形AEPF為矩形,連接AP,EF與AP互相平分,M是EF的中點(diǎn)也是AP的中點(diǎn),即AM=AP/2,可見若AP較小,則AM較小,△ABC確定,當(dāng)AP⊥BC時AP較小,此時AP=AB×AC/BC=12/5,∴AM較小為6/5.

8.如圖,∠MON=90°,矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B分別在OM,ON上,當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動時,A隨之在邊OM上運(yùn)動,矩形ABCD的形狀保持不變,其中AB=2,BC=1,運(yùn)動過程中,求點(diǎn)D到點(diǎn)O的較大距離.

【初中數(shù)學(xué)】矩形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用

【分析】由于∠MON=90°,A在OM上,B在ON上,且AB=2,取AB的中點(diǎn)E,則OE=AB/2=1,連接DE,在Rt△DAE中,DE=√2,如圖,

【初中數(shù)學(xué)】矩形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用

在△DOE中,OE,DE確定,則OD≤OE+DE,當(dāng)且僅當(dāng)O,E,D三點(diǎn)共線時取等號,∴OD的較大值為OE+DE=√2+1.(利用三角形三邊關(guān)系求較值時,必須包含有要求的邊如OD,另兩邊必須確定可求).

 

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