北京中考題二次方程

2020-05-04 11:37:38 　來源：百度文庫

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北京中功課二次方程！同學(xué)們想要學(xué)好初中數(shù)學(xué)，概念和公式必須牢牢掌握。什么是一元二次方程呢？只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)項(xiàng)的較高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。標(biāo)準(zhǔn)形式:ax²+bx+c=0（a≠0）。下面，小編為大家?guī)?span style="color:#f00;">北京中功課二次方程，希望可以給大家?guī)韼椭鷨褈

北京中功課二次方程

　　考點(diǎn)一：一元二次方程的有關(guān)概念(意義、一般形式、根的概念等)

　　例1 (2012•蘭州)下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是(　　)

　　A.x2+=0 B.ax2+bx+c=0

　　C.(x-1)(x+2)=1 D.3x2-2xy-5y2=0

　　思路分析：一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：

　　(1)未知數(shù)的較高次數(shù)是2;

　　(2)二次項(xiàng)系數(shù)不為0;

　　(3)是整式方程;

　　(4)含有一個(gè)未知數(shù).由這四個(gè)條件對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案.

　　解：A、原方程為分式方程;故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

　　B、當(dāng)a=0時(shí)，即ax2+bx+c=0的二次項(xiàng)系數(shù)是0時(shí)，該方程就不是一元二次方程;故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

　　C、由原方程，得x2+x-3=0，符合一元二次方程的要求;故本選項(xiàng)正確;

　　D、方程3x2-2xy-5y2=0中含有兩個(gè)未知數(shù);故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

　　故選C.

　　點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的較高次數(shù)是2.

　　對應(yīng)訓(xùn)練

　　1.(2012•惠山區(qū))一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一個(gè)根為0，則a= .

　　1.1

　　解：∵一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一個(gè)根為0，

　　∴a+1≠0且a2-1=0，

　　∴a=1.

　　故答案為1.

　　點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程的定義：含一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的較高次數(shù)為2的整式方程叫一元二次方程，其一般式為ax2+bx+c=0(a≠0).也考查了一元二次方程的解的定義.

　　考點(diǎn)二：一元二次方程的解法

　　例2 (2012•安徽)解方程：x2-2x=2x+1.

　　思路分析：先移項(xiàng)，把2x移到等號的左邊，再合并同類項(xiàng)，較后配方，方程的左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊就是完全平方式，右邊就是常數(shù)，然后利用平方根的定義即可求解.

　　解：∵x2-2x=2x+1，

　　∴x2-4x=1，

　　∴x2-4x+4=1+4，

　　(x-2)2=5，

　　∴x-2=±，

　　∴x1=2+，x2=2-.

　　點(diǎn)評：此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：

　　(1)把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊;

　　(2)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1;

　　(3)等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方;

　　(4)選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，較好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù).

　　例3 (2012•黔西南州)三角形的兩邊長分別為2和6，第三邊是方程x2-10x+21=0的解，則第三邊的長為(　　)

　　A.7 B.3 C.7或3 D.無法確定

　　思路分析：將已知的方程x2-10x+21=0左邊分解因式，利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解為3或7，利用三角形的兩邊之和大于第三邊進(jìn)行判斷，得到滿足題意的第三邊的長.

　　解：x2-10x+21=0，

　　因式分解得：(x-3)(x-7)=0，

　　解得：x1=3，x2=7，

　　∵三角形的第三邊是x2-10x+21=0的解，

　　∴三角形的第三邊為3或7，

　　當(dāng)三角形第三邊為3時(shí)，2+3<6，不能構(gòu)成三角形，舍去;

　　當(dāng)三角形第三邊為7時(shí)，三角形三邊分別為2，6，7，能構(gòu)成三角形，

　　則第三邊的長為7.

　　故選A

　　點(diǎn)評：此題考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的邊角關(guān)系，利用因式分解法解方程時(shí)，首先將方程右邊化為0，左邊分解因式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化兩個(gè)一次方程來求解.

　　對應(yīng)訓(xùn)練

　　2.(2012•臺灣)若一元二次方程式x2-2x-3599=0的兩根為a、b，且a>b，則2a-b之值為何?(　　)

　　A.-57 B.63 C.179 D.181

　　2.D

　　2.解：x2-2x-3599=0，

　　移項(xiàng)得：x2-2x=3599，

　　x2-2x+1=3599+1，

　　即(x-1)2=3600，

　　x-1=60，x-1=-60，

　　解得：x=61，x=-59，

　　∵一元二次方程式x2-2x-3599=0的兩根為a、b，且a>b，

　　∴a=61，b=-59，

　　∴2a-b=2×61-(-59)=181，

　　故選D.

　　3.(2012•南充)方程x(x-2)+x-2=0的解是(　　)

　　A.2 B.-2，1 C.-1 D.2，-1

　　3.D

　　考點(diǎn)三：根的判別式的運(yùn)用

　　例3 (2012•襄陽)如果關(guān)于x的一元二次方程kx2-x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是(　　)

　　A.k< B.k<且k≠0 C.-≤k< D.-≤k<且k≠0

　　思路分析：根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則△>0，由此建立關(guān)于k的不等式，然后就可以求出k的取值范圍.

　　解：由題意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1-4k>0，

　　∴-≤k<且k≠0.

　　故選D.

　　點(diǎn)評：此題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根的判別式△=b2-4ac.一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系為：

　　(1)△>0⇔方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

　　(2)△=0⇔方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;

　　(3)△<0⇔方程沒有實(shí)數(shù)根.

　　例4 (2012•綿陽)已知關(guān)于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.

　　(1)求證：方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

　　(2)若此方程的一個(gè)根是1，請求出方程的另一個(gè)根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長.

　　思路分析：(1)根據(jù)關(guān)于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0的根的判別式的符號來證明結(jié)論;

　　(2)根據(jù)一元二次方程的解的定義求得m值，然后由根與系數(shù)的關(guān)系求得方程的另一根.分類討論：①當(dāng)該直角三角形的兩直角邊是1、3時(shí)，由勾股定理得斜邊的長度為：;②當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時(shí)，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為;再根據(jù)三角形的周長公式進(jìn)行.

　　解：(1)證明：∵△=(m+2)2-4(2m-1)=(m-2)2+4，

　　∴在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，m無論取何值，(m-2)2+4≥4，即△≥4，

　　∴關(guān)于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

　　(2)根據(jù)題意，得

　　12-1×(m+2)+(2m-1)=0，

　　解得，m=2，

　　則方程的另一根為：3;

　�、佼�(dāng)該直角三角形的兩直角邊是1、3時(shí)，由勾股定理得斜邊的長度為：;

　　該直角三角形的周長為1+3+=4+;

　　②當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時(shí)，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為2;則該直角三角形的周長為1+3+2=4+2.

　　點(diǎn)評：本題綜合考查了勾股定理、根的判別式、一元二次方程解的定義.解答(2)時(shí)，采用了“分類討論”的數(shù)學(xué)思想.

　　對應(yīng)訓(xùn)練

　　3.(2012•桂林)關(guān)于x的方程x2-2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是(　　)

　　A.k<1 B.k>1 C.k<-1 D.k>-1

　　3.A.

　　4.(2012•珠海)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m=0.

　　(1)當(dāng)m=3時(shí)，判斷方程的根的情況;

　　(2)當(dāng)m=-3時(shí)，求方程的根.

　　4.解：(1)∵當(dāng)m=3時(shí)，

　　△=b2-4ac=22-4×3=-8<0，

　　∴原方程無實(shí)數(shù)根;

　　(2)當(dāng)m=-3時(shí)，

　　原方程變?yōu)閤2+2x-3=0，

　　∵(x-1)(x+3)=0，

　　∴x-1=0，x+3=0，

　　∴x1=1，x2=-3.

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　　考點(diǎn)四：一元二次方程的應(yīng)用

　　例5 (2012•南京)某汽車公司6月份某廠家的汽車，在一定范圍內(nèi)，每部汽車的進(jìn)價(jià)與量有如下關(guān)系：若當(dāng)月僅售出1部汽車，則該部汽車的進(jìn)價(jià)為27萬元，每多售出1部，所有售出的汽車的進(jìn)價(jià)均降低0.1萬元/部，月底廠家根據(jù)量一次性返利給公司，量在10部以內(nèi)(含10部)，每部返利0.5萬元;量在10部以上，每部返利1萬元.

　　(1)若該公司當(dāng)月售出3部汽車，則每部汽車的進(jìn)價(jià)為萬元;

　　(2)如果汽車的價(jià)格為28萬元/部，該公司計(jì)劃當(dāng)月返利12萬元，那么需要售出多少部汽車?(盈利=利潤+返利)

　　思路分析：(1)根據(jù)若當(dāng)月僅售出1部汽車，則該部汽車的進(jìn)價(jià)為27萬元，每多售出1部，所有售出的汽車的進(jìn)價(jià)均降低0.1萬元/部，得出該公司當(dāng)月售出3部汽車時(shí)，則每部汽車的進(jìn)價(jià)為：27-0.1×2，即可得出答案;

　　(2)利用設(shè)需要售出x部汽車，由題意可知，每部汽車的利潤，根據(jù)當(dāng)0≤x≤10，以及當(dāng)x>10時(shí)，分別討論得出即可.

　　解：(1)∵若當(dāng)月僅售出1部汽車，則該部汽車的進(jìn)價(jià)為27萬元，每多售出1部，所有售出的汽車的進(jìn)價(jià)均降低0.1萬元/部，

　　∴若該公司當(dāng)月售出3部汽車，則每部汽車的進(jìn)價(jià)為：27-0.1×2=26.8，

　　故答案為：26.8;

　　(2)設(shè)需要售出x部汽車，

　　由題意可知，每部汽車的利潤為：

　　28-[27-0.1(x-1)]=(0.1x+0.9)(萬元)，

　　當(dāng)0≤x≤10，

　　根據(jù)題意，得x•(0.1x+0.9)+0.5x=12，

　　整理，得x2+14x-120=0，

　　解這個(gè)方程，得x1=-20(不合題意，舍去)，x2=6，

　　當(dāng)x>10時(shí)，

　　根據(jù)題意，得x•(0.1x+0.9)+x=12，

　　整理，得x2+19x-120=0，

　　解這個(gè)方程，得x1=-24(不合題意，舍去)，x2=5，

　　因?yàn)?<10，所以x2=5舍去，

　　答：需要售出6部汽車.

　　點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用.解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系并進(jìn)行分段討論是解題關(guān)鍵.

　　對應(yīng)訓(xùn)練

　　5.(2012•樂山)菜農(nóng)李偉種植的某蔬菜計(jì)劃以每千克5元的單價(jià)對外批發(fā)，由于部分菜農(nóng)盲目擴(kuò)大種植，造成該蔬菜滯銷.李偉為了加快，減少損失，對價(jià)格經(jīng)過兩次下調(diào)后，以每千克3.2元的單價(jià)對外批發(fā).

　　(1)求平均每次下調(diào)的百分率;

　　(2)小華準(zhǔn)備到李偉處購買5噸該蔬菜，因數(shù)量多，李偉決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選擇：

　　方案一：打九折;

　　方案二：不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金200元.

　　試問小華選擇哪種方案更優(yōu)惠，請說明理由.

　　5.解 (1)設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x.

　　由題意，得5(1-x)2=3.2.

　　解這個(gè)方程，得x1=0.2，x2=1.8.

　　因?yàn)榻祪r(jià)的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合題意，

　　符合題目要求的是x1=0.2=20%.

　　答：平均每次下調(diào)的百分率是20%.

　　(2)小華選擇方案一購買更優(yōu)惠.