2019北京中考數(shù)學(xué)答案全

2020-03-17 13:45:09 　來(lái)源：百度文庫(kù)

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　2019北京中考數(shù)學(xué)答案

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　　重心的性質(zhì)及證明

　　重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。2019北京中考數(shù)學(xué)答案重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離平方的和較小。(等邊三角形)重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積較大的點(diǎn)。

　　1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。

　　證明：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中點(diǎn)。EC、FB交于G。

　　求證：EG=1/2CG

　　證明：過(guò)E作EH∥BF交AC于H。

　　∵AE=BE，EH//BF

　　∴AH=HF=1/2AF(平行線分線段成比例定理)

　　又∵ AF=CF

　　∴HF=1/2CF

　　∴HF:CF=1/2

　　∵EH∥BF

　　∴EG:CG=HF:CF=1/2

　　∴EG=1/2CG

　　2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。

　　證明方法：

　　在△ABC內(nèi)，三邊為a，b，c，點(diǎn)O是該三角形的重心，2019北京中考數(shù)學(xué)答案AOA'、BOB'、COC'分別為a、b、c邊上的中線。根據(jù)重心性質(zhì)知：

　　OA'=1/3AA'

　　OB'=1/3BB'

　　OC'=1/3CC'

　　過(guò)O，A分別作a邊上高OH'，AH

　　可知OH'=1/3AH

　　則，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC

　　同理可證S△AOC=1/3S△ABC

　　S△AOB=1/3S△ABC

　　所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB

　　3、三角形內(nèi)到三邊距離之積較大的點(diǎn)。

　　證明：點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，作點(diǎn)P到BC、AC、AB的垂線段，垂足分別為D、E、F，延長(zhǎng)AP交BC于M。記△ABC的面積為S，BC為a，AC為b，AB為c，PD為a'，PE為b'，PF為c'。

　　∵aa'/2+bb'/2+cc'/2=S△BCP+S△ACP+S△ABP=S

　　∴aa'+bb'+cc'=2S

　　由均值不等式知，[(aa'+bb'+cc')/3]^3≥aa'bb'cc'=(abc)*(a'b'c')，當(dāng)且僅當(dāng)aa'=bb'=cc'時(shí)等號(hào)成立。

　　∴a'b'c'≤[(aa'+bb'+cc')/3]^3/(abc)=(S/3)^3/(abc)=8S^3/(27abc)，當(dāng)且僅當(dāng)aa'=bb'=cc'時(shí)等號(hào)成立。

　　∴a'b'c'只有當(dāng)aa'=bb'=cc'時(shí)才會(huì)取得較大值。

　　此時(shí)，S△ABP=cc'/2=bb'/2=S△ACP，由燕尾定理知，BM/CM=S△ABP/S△ACP=1。

　　∴此時(shí)BM=CM，M是BC的中點(diǎn)，AM是△ABC的中線，P在△ABC中BC邊的中線上。

　　同理可證此時(shí)P在△ABC中AB、2019北京中考數(shù)學(xué)答案AC邊的中線上。

　　∴當(dāng)a'b'c'較大時(shí)，P是△ABC的重心，即重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積較大的點(diǎn)。

由于篇幅原因，以上只是部分內(nèi)容。

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