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小學(xué)數(shù)學(xué)故事:克萊因瓶

2017-03-31 17:41:49  來源:網(wǎng)絡(luò)整理

  小學(xué)數(shù)學(xué)故事:克萊因瓶!這個故事講述:在1882年,數(shù)學(xué)家菲立克斯·克 萊因(Felix Klein)發(fā)現(xiàn)了后來以他的名字命 名的"瓶子"。這是一個象球面那樣 封閉的(也就是說沒有邊)曲面,但是它...下面來給大家分享小學(xué)數(shù)學(xué)故事:克萊因瓶!一起來看有趣的數(shù)學(xué)故事吧!

 


  小學(xué)數(shù)學(xué)故事:克萊因瓶


  在1882年,數(shù)學(xué)家菲立克斯·克 萊因(Felix Klein)發(fā)現(xiàn)了后來以他的名字命 名的"瓶子"。這是一個象球面那樣 封閉的(也就是說沒有邊)曲面,但是它卻只有一個面。在圖片上我們看到,克萊 因瓶的確就象是一個瓶子。但是它沒有瓶 底,它的瓶頸被拉長,然后似乎是穿過了 瓶壁,較后瓶頸和瓶底圈連在了一起。如 果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相 連的話,我們就會得到一個輪胎面。


  我們可以說一個球有兩個面--外面和內(nèi)面,如果一只螞蟻在一個球的外表面上爬行,那么如果它不在球面上咬一個洞,就無法爬到內(nèi)表面上去。輪胎面也是一樣,有內(nèi)外表面之分。但是克萊因瓶卻不同,我們很容易想象,一只爬在"瓶外"的螞蟻,可以輕松地通過瓶頸而爬到"瓶內(nèi)"去--事實上克萊因瓶并無內(nèi)外之分!在數(shù)學(xué)上,我們稱克萊因瓶是一個不可定向的二維緊致流型,而球面或輪胎面是可定向的二維緊致流型。


  如果我們觀察克萊因瓶的圖片,有一點似乎令人困惑--克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的,換句話說,瓶頸上的某些點和瓶壁上的某些點占據(jù)了三維空間中的同一個位置。但是事實卻非如此。事實是:克萊因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現(xiàn)出來的曲面,如果我們一定要把它表現(xiàn)在我們生活的三維空間中,我們只好將就點,只好把它表現(xiàn)得似乎是自己和自己相交一樣。事實上,克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的,并不穿過瓶壁。這是怎么回事呢?


  我們用扭節(jié)來打比方?吹紫逻@個圖形,如果我們把它看作平面 上的曲線的話,那么它似乎自身相交,再一看似乎又斷成了三截。但其實很容易明白,這個圖形其實是三維空間中的曲線,它并不和自己相交,而且是連續(xù)不斷的一條曲線。在平面上一條曲線自然做不到這樣,但是如果有第三維的話,它就可以穿過第三維來避開和自己相交。只是因為我們要把它畫在二維平面上時,只好將就一點,把它畫成相交或者斷裂了的樣子?巳R因瓶也一樣,這是一個事實上處于四維空間中的曲面。在我們這個三維空間中,即使是較高明的能工巧匠,也不得不把它做成自身相交的模樣;就好象較高明的畫家,在紙上畫扭結(jié)的時候也不得不把它們畫成自身相交的模樣。題圖就是一個用玻璃


  吹制的克萊因瓶。


  大家大概都知道莫比烏斯帶。你可以把一條紙帶的一段扭180度,再和另一端粘起來來得到一條莫比烏斯帶的模型。這也是一個只有一 莫比烏斯帶個面的曲面,但是和球面、輪胎面和克萊因瓶不同的是,它有邊(注意,它只有一條邊)。如果我們把兩條莫比烏斯帶沿著它們的邊粘合起來,你就得到了一個克萊因瓶(當(dāng)然不要忘了,我們必須在四維空間中才能真正有可能完成這個粘合,否則的話就不得不把紙撕破一點)。同樣地,如果把一個克萊因瓶適當(dāng)?shù)丶糸_來,我們就能得到兩條莫比烏斯帶 除了我們上面看到的克萊因瓶的模樣,還有一種不太為人所知的"8字形"克萊因瓶。它看起來和上面的曲面完全不同,但是在四維空間中它們其實就是同一個曲面--克萊因瓶。


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