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小學小學數(shù)學必須掌握的30個知識模塊

2012-06-28 14:02:13  來源:奧數(shù)網(wǎng)整理

  1.和差倍問題

  和差問題 和倍問題 差倍問題

  已知條件 幾個數(shù)的和與差 幾個數(shù)的和與倍數(shù) 幾個數(shù)的差與倍數(shù)

  公式適用范圍 已知兩個數(shù)的和,差,倍數(shù)關系

  公式 ①(和-差)÷2=較小數(shù)

  較小數(shù)+差=較大數(shù)

  和-較小數(shù)=較大數(shù)

 、(和+差)÷2=較大數(shù)

  較大數(shù)-差=較小數(shù)

  和-較大數(shù)=較小數(shù)

  和÷(倍數(shù)+1)=小數(shù)

  小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)

  和-小數(shù)=大數(shù)

  差÷(倍數(shù)-1)=小數(shù)

  小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)

  小數(shù)+差=大數(shù)

  關鍵問題 求出同一條件下的

  和與差 和與倍數(shù) 差與倍數(shù)

  2.年齡問題的三個基本特征:

 、賰蓚人的年齡差是不變的;

 、趦蓚人的年齡是同時增加或者同時減少的;

 、蹆蓚人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的;

  3.歸一問題的基本特點:問題中有一個不變的量,一般是那個“單一量”,題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示。

  關鍵問題:根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量;

  4.植樹問題

  基本類型 在直線或者不封閉的曲線上植樹,兩端都植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹,兩端都不植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹,只有一端植樹 封閉曲線上植樹

  基本公式 棵數(shù)=段數(shù)+1

  棵距×段數(shù)=總長 棵數(shù)=段數(shù)-1

  棵距×段數(shù)=總長 棵數(shù)=段數(shù)

  棵距×段數(shù)=總長

  關鍵問題 確定所屬類型,從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關系

  5.雞兔同籠問題

  基本概念:雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題,就是把假設錯的那部分置換出來;

  基本思路:

  ①假設,即假設某種現(xiàn)象存在(甲和乙一樣或者乙和甲一樣):

  ②假設后,發(fā)生了和題目條件不同的差,找出這個差是多少;

 、勖總事物造成的差是固定的,從而找出出現(xiàn)這個差的原因;

  ④再根據(jù)這兩個差作適當?shù)恼{整,消去出現(xiàn)的差。

  基本公式:

 、侔阉须u假設成兔子:雞數(shù)=(兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù))

  ②把所有兔子假設成雞:兔數(shù)=(總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù))÷(兔腳數(shù)一雞腳數(shù))

  關鍵問題:找出總量的差與單位量的差。

  6.盈虧問題

  基本概念:一定量的對象,按照某種標準分組,產(chǎn)生一種結果:按照另一種標準分組,又產(chǎn)生一種結果,由于分組的標準不同,造成結果的差異,由它們的關系求對象分組的組數(shù)或對象的總量.

  基本思路:先將兩種分配方案進行比較,分析由于標準的差異造成結果的變化,根據(jù)這個關系求出參加分配的總份數(shù),然后根據(jù)題意求出對象的總量.

  基本題型:

 、僖淮斡杏鄶(shù),另一次不足;

  基本公式:總份數(shù)=(余數(shù)+不足數(shù))÷兩次每份數(shù)的差

 、诋攦纱味加杏鄶(shù);

  基本公式:總份數(shù)=(較大余數(shù)一較小余數(shù))÷兩次每份數(shù)的差

  ③當兩次都不足;

  基本公式:總份數(shù)=(較大不足數(shù)一較小不足數(shù))÷兩次每份數(shù)的差

  基本特點:對象總量和總的組數(shù)是不變的。

  關鍵問題:確定對象總量和總的組數(shù)。

  7.牛吃草問題

  基本思路:假設每頭牛吃草的速度為“1”份,根據(jù)兩次不同的吃法,求出其中的總草量的差;再找出造成這種差異的原因,即可確定草的生長速度和總草量。

  基本特點:原草量和新草生長速度是不變的;

  關鍵問題:確定兩個不變的量。

  基本公式:

  生長量=(較長時間×長時間牛頭數(shù)-較短時間×短時間牛頭數(shù))÷(長時間-短時間);

  總草量=較長時間×長時間牛頭數(shù)-較長時間×生長量;

  8.周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律

  周期現(xiàn)象:事物在運動變化的過程中,某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。

  周期:我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期。

  關鍵問題:確定循環(huán)周期。

  閏 年:一年有366天;

 、倌攴菽鼙4整除;②如果年份能被100整除,則年份必須能被400整除;

  平 年:一年有365天。

 、倌攴莶荒鼙4整除;②如果年份能被100整除,但不能被400整除;

  9.平均數(shù)

  基本公式:①平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)

  總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)

  總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)

  ②平均數(shù)=基準數(shù)+每一個數(shù)與基準數(shù)差的和÷總份數(shù)

  基本算法:

 、偾蟪隹倲(shù)量以及總份數(shù),利用基本公式①進行.

 、诨鶞蕯(shù)法:根據(jù)給出的數(shù)之間的關系,確定一個基準數(shù);一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準數(shù);以基準數(shù)為標準,求所有給出數(shù)與基準數(shù)的差; 再求出所有差的和;再求出這些差的平均數(shù);較后求這個差的平均數(shù)和基準數(shù)的和,就是所求的平均數(shù),具體關系見基本公式②。

  10.抽屜原理

  抽屜原則一:如果把(n+1)個物體放在n個抽屜里,那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。

  例:把4個物體放在3個抽屜里,也就是把4分解成三個整數(shù)的和,那么就有以下四種情況:

 、4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1

  觀察上面四種放物體的方式,我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點:總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體,也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。

  抽屜原則二:如果把n個物體放在m個抽屜里,其中n>m,那么必有一個抽屜至少有:

 、賙=[n/m ]+1個物體:當n不能被m整除時。

 、趉=n/m個物體:當n能被m整除時。

  理解知識點:[X]表示不超過X的較大整數(shù)。

  例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;

  關鍵問題:構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量,而后依據(jù)抽屜原則進行運算。

  11.定義新運算

  基本概念:定義一種新的運算符號,這個新的運算符號包含有多種基本(混合)運算。

  基本思路:嚴格按照新定義的運算規(guī)則,把已知的數(shù)代入,轉化為加減乘除的運算,然后按照基本運算過程、規(guī)律進行運算。

  關鍵問題:正確理解定義的運算符號的意義。

  注意事項:①新的運算不一定符合運算規(guī)律,特別注意運算順序。

  ②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。

  12.數(shù)列求和

  等差數(shù)列:在一列數(shù)中,任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的,這樣的一列數(shù),就叫做等差數(shù)列。

  基本概念:首項:等差數(shù)列的先進個數(shù),一般用a1表示;

  項數(shù):等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù),一般用n表示;

  公差:數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差,一般用d表示;

  通項:表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式,一般用an表示;

  數(shù)列的和:這一數(shù)列全部數(shù)字的和,一般用Sn表示.

  基本思路:等差數(shù)列中涉及五個量:a1 ,an, d, n,sn,,通項公式中涉及四個量,如果己知其中三個,就可求出第四個;求和公式中涉及四個量,如果己知其中三個,就可以求這第四個。

  基本公式:通項公式:an = a1+(n-1)d;

  通項=首項+(項數(shù)一1) ×公差;

  數(shù)列和公式:sn,= (a1+ an)×n÷2;

  數(shù)列和=(首項+末項)×項數(shù)÷2;

  項數(shù)公式:n= (an+ a1)÷d+1;

  項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1;

  公差公式:d =(an-a1))÷(n-1);

  公差=(末項-首項)÷(項數(shù)-1);

  關鍵問題:確定已知量和未知量,確定使用的公式;

  13.二進制及其應用

  十進制:用0~9十個數(shù)字表示,逢10進1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義,十位上的2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。

  =An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100

  注意:N0=1;N1=N(其中N是任意自然數(shù))

  二進制:用0~1兩個數(shù)字表示,逢2進1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。

  (2)= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7

  +……+A3×22+A2×21+A1×20

  注意:An不是0就是1。

  十進制化成二進制:

 、俑鶕(jù)二進制滿2進1的特點,用2連續(xù)去除這個數(shù),直到商為0,然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。

 、谙日页霾淮笥谠摂(shù)的2的n次方,再求它們的差,再找不大于這個差的2的n次方,依此方法一直找到差為0,按照二進制展開式特點即可寫出。

  14.加法乘法原理和幾何計數(shù)

  加法原理:如果完成一件任務有n類方法,在先進類方法中有m1種不同方法,在第二類方法中有m2種不同方法……,在第n類方法中有mn種不同方法,那么完成這件任務共有:m1+ m2....... +mn種不同的方法。

  關鍵問題:確定工作的分類方法。

  基本特征:每一種方法都可完成任務。

  乘法原理:如果完成一件任務需要分成n個步驟進行,做第1步有m1種方法,不管第1步用哪一種方法,第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法,第n步總有mn種方法,那么完成這件任務共有:m1×m2....... ×mn種不同的方法。

  關鍵問題:確定工作的完成步驟。

  基本特征:每一步只能完成任務的一部分。

  直線:一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動,形成的軌跡。

  直線特點:沒有端點,沒有長度。

  線段:直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。

  線段特點:有兩個端點,有長度。

  射線:把直線的一端無限延長。

  射線特點:只有一個端點;沒有長度。

 、贁(shù)線段規(guī)律:總數(shù)=1+2+3+…+(點數(shù)一1);

 、跀(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+(射線數(shù)一1);

 、蹟(shù)長方形規(guī)律:個數(shù)=長的線段數(shù)×寬的線段數(shù):

 、軘(shù)長方形規(guī)律:個數(shù)=1×1+2×2+3×3+…+行數(shù)×列數(shù)

  15.質數(shù)與合數(shù)

  質數(shù):一個數(shù)除了1和它本身之外,沒有別的約數(shù),這個數(shù)叫做質數(shù),也叫做素數(shù)。

  合數(shù):一個數(shù)除了1和它本身之外,還有別的約數(shù),這個數(shù)叫做合數(shù)。

  質因數(shù):如果某個質數(shù)是某個數(shù)的約數(shù),那么這個質數(shù)叫做這個數(shù)的質因數(shù)。

  分解質因數(shù):把一個數(shù)用質數(shù)相乘的形式表示出來,叫做分解質因數(shù)。通常用短除法分解質因數(shù)。任何一個合數(shù)分解質因數(shù)的結果是的。

  分解質因數(shù)的標準表示形式:N=,其中a1、a2、a3……an都是合數(shù)N的質因數(shù),且a1<……< p>

  求約數(shù)個數(shù)的公式:P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)

  互質數(shù):如果兩個數(shù)的較大公約數(shù)是1,這兩個數(shù)叫做互質數(shù)。

 

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