行程問題解析之：類型分析

2010-06-12 10:41:24 　來源：網(wǎng)絡(luò)資源

　　在行程問題中，當(dāng)考慮兩人或兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，就有"相向"、"同向"、"背向"這三種情況。"相向而行"是指兩者面對(duì)面地行進(jìn)，其距離越來越近;"同向而行"是指兩者的運(yùn)動(dòng)方向相同;"背向而行"是指兩者背對(duì)背行進(jìn)。如果兩人或兩個(gè)物體相向而行，到一定時(shí)間就會(huì)相遇;相遇后仍按原方向行進(jìn)，就會(huì)變成背向而行�？傊�，相向而行與背向而行，其運(yùn)動(dòng)方向都是相反的，所以我們可作如下分類：

　　兩人(物體)運(yùn)動(dòng)

　　如果運(yùn)動(dòng)路線不是直線，而是一個(gè)圓圈(比如我們?cè)诓賵?chǎng)上進(jìn)行環(huán)形賽跑)，情況就要復(fù)雜一些。這時(shí)兩人(或物體)如果面對(duì)面跑，那么也就是背對(duì)背跑，這兩人(或物體)的距離會(huì)有"增加--減少--增加--減少--增加……"的現(xiàn)象;如果不是面對(duì)面跑，而是同向跑，那么速度快的，就會(huì)比速度慢的先多跑1圈，然后多跑2圈，3圈，……。這兩人(或物體)的距離也會(huì)有"增加--減少--增加--減少--增加……"的現(xiàn)象。對(duì)于這些情況，只要到操場(chǎng)上試一試或在紙上畫幅圖分析一下，就可以明白。

　　在行程問題中還有一類順逆航行的問題。如果航行的工具是輪船，那么常用的相等關(guān)系是：

　　順?biāo)俣?靜水速度+水流速度;

　　逆水速度=靜水速度-水流速度。

　　如果航行的工具是飛機(jī)，那么常用的相等關(guān)系是：

　　順風(fēng)速度=無風(fēng)時(shí)飛機(jī)速度+風(fēng)速;

　　逆風(fēng)速度=無風(fēng)時(shí)飛機(jī)速度-風(fēng)速。

　　【例1】一條環(huán)形跑道長(zhǎng)400米。甲訓(xùn)練騎自行車，平均每分鐘行駛550米;乙訓(xùn)練長(zhǎng)跑，平均每分鐘跑250米。兩人同時(shí)、同地、同向出發(fā)，經(jīng)過多少時(shí)間，兩人較早相遇?

　　分析本題是行程問題的追及問題。它有兩個(gè)相等關(guān)系：

　　甲的路程-乙的路程=環(huán)形跑道-圓的周長(zhǎng);

　　甲用的時(shí)間=乙用的時(shí)間。

　　解答設(shè)經(jīng)過x分鐘兩人較早相遇。根據(jù)題意，得方程

　　550x-250x=400。

　　解這個(gè)方程，得x=1。

　　答：經(jīng)過1分鐘，甲、乙兩人較早相遇。

　　說明在追及問題中常用的等量關(guān)系是：

　　(1)若甲、乙同地出發(fā)，甲先行，則乙追上甲時(shí)有：

　　甲所走的路程=乙所走的路程;

　　甲所用的時(shí)間=乙所用的時(shí)間+甲先行的時(shí)間。

　　(2)若甲、乙同時(shí)不同地出發(fā)，甲在乙后面，則甲追上乙時(shí)有：

　　甲所走的路程=乙所走的路程+甲、乙出發(fā)時(shí)的距離;

　　甲所用的時(shí)間=乙所用的時(shí)間。

　　【例2】一架飛機(jī)飛行在兩城市之間。風(fēng)速為24千米/時(shí)，順風(fēng)飛行需要2小時(shí)50分，逆風(fēng)飛行需要3小時(shí)。求兩個(gè)城市之間的飛行路程。

　　分析一、(設(shè)直接未知數(shù))設(shè)兩個(gè)城市之間的飛行路程為x千米，則順、逆風(fēng)飛行的路程都是x千米，順風(fēng)飛行的速度為千米/時(shí)，逆風(fēng)飛行的速度為千米/時(shí)。所以，應(yīng)該在速度這個(gè)量上找相等關(guān)系：

　　∵順風(fēng)機(jī)速-風(fēng)速=無風(fēng)機(jī)速;

　　逆風(fēng)機(jī)速+風(fēng)速=無風(fēng)機(jī)速，

　　∴順風(fēng)機(jī)速-風(fēng)速=逆風(fēng)機(jī)速+風(fēng)速。即-24=+24。

　　二、(設(shè)間接未知數(shù))設(shè)無風(fēng)時(shí)的機(jī)速為x千米/時(shí)，則順風(fēng)機(jī)速為(x+24)千米/時(shí)，逆風(fēng)機(jī)速為(x-24)千米/時(shí)。又因?yàn)闀r(shí)間是已知量，有x和已知量可表示順、逆飛行的路程，它們應(yīng)相等。

　　解法一設(shè)兩個(gè)城市之間的飛行路程為x千米。根據(jù)題意，得

　　-24=+24。

　　解這個(gè)方程，得x=2448。

　　答：兩個(gè)城市之間的飛行路程為2448千米。

　　解法二設(shè)無風(fēng)時(shí)飛行的機(jī)速為x千米/時(shí)。根據(jù)題意，得

　　2(x+4)=3(x-4)。

　　解這個(gè)方程，得x=840。

　　3(x-4)=3(840-4)=2448。

　　答：兩個(gè)城市之間的飛行路程為2448千米。

　　說明有關(guān)船只航行問題可仿此分析解決。