行程問題解析之：化曲為直

2010-06-12 10:38:20 　來源：網(wǎng)絡(luò)資源

　　(1)姐弟倆出游，弟弟先走一步，每分鐘走40米，走了80米之后，姐姐去追他。姐姐每分鐘走60米，姐姐帶的小狗每分鐘跑150米。小狗追上弟弟又轉(zhuǎn)去找姐姐，碰上姐姐又轉(zhuǎn)去追弟弟，跑來跑去直到姐弟相遇小狗才停下來，則小狗跑了()米

　　A.600 B.800 C.1200 D.1600

　　這是小學(xué)數(shù)學(xué)題目中經(jīng)典的追擊、相遇問題。較直接的考慮就是出狗先進(jìn)次追上弟弟跑的路程，然后再回來遇到姐姐跑的路程，扭頭再追上弟弟跑的路程，返回跟姐姐相遇跑的路程……把這一系列數(shù)相加得到結(jié)果。只是這么一分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這“一系列”竟然有無窮多項(xiàng)，而且每次小狗跑的路程都相當(dāng)麻煩。怕是診斷都已經(jīng)結(jié)束了，這一道題連一半還沒有做完。顯然不能這么求解。

　　注意到一個(gè)事實(shí)，小狗跑的時(shí)候速度是不變的，要想知道小狗跑的路程關(guān)鍵就是能夠求出小狗跑的時(shí)間。只要姐姐還沒追上弟弟，小狗就一步不停的在跑。換句話說——小狗跑的總時(shí)間正好是姐姐追上弟弟所用的時(shí)間。由此可得，小狗跑的路成為，

　　，選A。

　　這道題中，小狗跑的路線就是來回了很多次，然而我們把它跑的路線看成在一條平直的路上跑就輕而易舉的求解了。

　　下面讓“化曲為直”發(fā)揮更大的作用。

　　(2)甲、乙、丙三人沿著400米環(huán)形跑道進(jìn)行800米跑比賽，甲跑1圈時(shí)，乙比甲多跑1/7圈，丙比甲少跑1/7圈。如果他們各自跑步速度不變，那么當(dāng)乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，甲在丙前面()米

　　A.85 B.90 C.100 D.105

　　這道題我們把整個(gè)800米跑看成是沿著一條直線跑，畫一張圖來幫助求解。

　　根據(jù)題意，當(dāng)甲跑到400米處時(shí)，三個(gè)人距離0點(diǎn)的距離比為(用角標(biāo)1、2、3分別代表甲、乙、丙)，

　　甲、乙、丙三個(gè)人在相同時(shí)間內(nèi)所跑路程之比為上式，因此他們的速度也為，

　　當(dāng)乙跑到800米處時(shí)，由于三個(gè)人跑步的時(shí)間相同，因此他們所跑的路程比值還是

　　即，甲此時(shí)跑到了700米處，丙此時(shí)跑到了600米處，所以甲在丙前面100米。

　　“化曲為直”之后，利用簡(jiǎn)單的比例關(guān)系，難題變得異常容易。

　　不是圓圈的題目還能變成直線!

　　(3)某單位圍墻外公路圍成了邊長(zhǎng)為300米的正方形，甲、乙兩個(gè)人分別從兩個(gè)對(duì)角逆時(shí)針同時(shí)出發(fā)，如果甲每分鐘走90米，乙每分鐘走70米，那么經(jīng)過()甲就能看到乙

　　A.16分40秒 B.16分 C.15分 D.14分40秒

　　此題以上手覺得還算容易——無非是甲、乙兩人之間距離小于300米，甲就能看到乙了。仔細(xì)想想其實(shí)不然——即便是甲、乙就差了1米，但是兩個(gè)人剛好處于一個(gè)拐角的兩邊，甲還是看不到乙。這樣想下去就會(huì)被這道題的方形給“套”進(jìn)去。

　　我們來把這個(gè)題目換個(gè)說法，變個(gè)圖樣。

　　這個(gè)題現(xiàn)在變成了這樣一道題目：甲、乙沿著一條長(zhǎng)直公路行走，這條公路每300米被劃分成“一格”，一開始乙在甲的右端2格處，甲的速度為90米/分，乙的速度為70米/分，請(qǐng)問，甲、乙兩人過多久能夠走在同一格內(nèi)?

　　這跟原題在本質(zhì)上是同一道題。

　　先用答案中比較好算的一個(gè)時(shí)間來驗(yàn)證一下，代入15分鐘這個(gè)數(shù)值，發(fā)現(xiàn)過了15分鐘時(shí)，甲走了1350米，乙走了1050米，甲、乙兩人的位置關(guān)系變成了圖中“甲’”和“乙’”所示。而且兩人正好處于兩個(gè)相鄰格的正中間。

　　回過頭想想一開始的那個(gè)做法，這里就會(huì)出錯(cuò)了。兩人距離不超過300，但是甲仍然看不到乙。

　　這時(shí)候別急著列式求解，分析一下題目現(xiàn)在的情況——甲、乙現(xiàn)在距離格檔都是150米，然而甲比乙走的快。所以當(dāng)甲走完剩下的150米，來到下一個(gè)格檔的時(shí)候，乙還沒有走到格檔處，也就是這時(shí)候甲就能看到乙了。所以，

　　再過150/90=1分40秒，甲就能看到乙了。加上開始的15分鐘，一共過了16分40秒，甲就能看到乙。

　　“化曲為直”，看似無法求解的題目得到優(yōu)秀解答。

　　當(dāng)然，有些題目看似可以用這種方法求解，但深究就會(huì)發(fā)現(xiàn)并不這樣。比如，

　　(4)右圖是邊長(zhǎng)為100米的正三角形，甲從A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，按順時(shí)針方向沿三角形的邊行進(jìn)。甲每分鐘走120米，乙每分鐘走150米，但過每個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，因轉(zhuǎn)彎都要耽誤10秒。乙出發(fā)()分鐘方可追上甲

　　A.3 B.4 C.5 D.6

　　粗看來，這道題跟前一道題異曲同工，企圖采用同一種方法求解，結(jié)果發(fā)現(xiàn)這種方法失效了。

　　那么是這種“化曲為直”的方法真的失效了么?我們來深究一下這種方法的奧妙。

　　請(qǐng)注意這樣兩個(gè)事情：先進(jìn)，根據(jù)速度公式s=vt;第二，在前三道題中，共同特點(diǎn)是需要的運(yùn)動(dòng)物體或者人，在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持勻速運(yùn)動(dòng)，沒有停止過。

　　如果v始終不變，隨著時(shí)間的推移，s發(fā)生了變化，但是這種變化與s究竟是什么形狀沒有關(guān)系，只與s究竟多長(zhǎng)有關(guān)。

　　這就是“化曲為直”的內(nèi)在本質(zhì)!

　　再看看第四題，這道題中，甲、乙兩人都是走走停停，v在不斷發(fā)生變化，這時(shí)候再把s“拉直”就肯定出了問題。而對(duì)付這類問題則有這類問題的巧妙解法，將在后續(xù)的文章中逐一呈現(xiàn)給大家。

　　綜上看來，“化曲為直”方法解決的“復(fù)雜行程問題”，是這樣一類問題：無論題目中的運(yùn)動(dòng)情況多復(fù)雜，運(yùn)動(dòng)的物體或者人其運(yùn)動(dòng)的速度始終保持不變，這時(shí)候運(yùn)動(dòng)的路線就成了一個(gè)迷惑人的“幌子”，我們把這張幌子“扯平”，把曲線“拉直”，這類問題便迎刃而解。