五年級(jí)小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)：“牛吃草”問(wèn)題

2010-05-25 10:00:25 　來(lái)源：本站原創(chuàng)

　　有這樣的問(wèn)題.如：牧場(chǎng)上有一片勻速生長(zhǎng)的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周.那么它可供21頭牛吃幾周?這類問(wèn)題稱為“牛吃草”問(wèn)題。

　　解答這類問(wèn)題，困難在于草的總量在變，它每天，每周都在均勻地生長(zhǎng)，時(shí)間愈長(zhǎng)，草的總量越多.草的總量是由兩部分組成的：①某個(gè)時(shí)間期限前草場(chǎng)上原有的草量;②這個(gè)時(shí)間期限后草場(chǎng)每天(周)生長(zhǎng)而新增的草量.因此，必須設(shè)法找出這兩個(gè)量來(lái)。

　　下面就用開(kāi)頭的題目為例進(jìn)行分析.(見(jiàn)下圖)

　　從上面的線段圖可以看出23頭牛9周的總草量比27頭牛6周的總草量多，多出部分相當(dāng)于3周新生長(zhǎng)的草量.為了求出一周新生長(zhǎng)的草量，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化.27頭牛6周吃草量相當(dāng)于27×6=162頭牛一周吃草量(或一頭牛吃162周).23頭牛9周吃草量相當(dāng)于23×9=207頭牛一周吃草量(或一頭牛吃207周).這樣一來(lái)可以認(rèn)為每周新生長(zhǎng)的草量相當(dāng)于(207-162)÷(9-6)=15頭牛一周的吃草量。

　　需要解決的第二個(gè)問(wèn)題是牧場(chǎng)上原有草量是多少?用27頭牛6周的總吃草量減去6周新生長(zhǎng)的草量(即15×6=90頭牛吃一周的草量)即為牧場(chǎng)原有草量。

　　所以牧場(chǎng)上原有草量為27×6-15×6=72頭牛一周的吃草量(或者為23×9-15×9=72)。

　　牧場(chǎng)上的草21頭牛幾周才能吃完呢?解決這個(gè)問(wèn)題相當(dāng)于把21頭牛分成兩部分.一部分看成專吃牧場(chǎng)上原有的草.另一部分看成專吃新生長(zhǎng)的草.但是新生的草只能維持15頭牛的吃草量，且始終可保持平衡(前面已分析過(guò)每周新生的草恰夠15頭牛吃一周).故分出15頭牛吃新生長(zhǎng)的草，另一部分21-15=6(頭)牛去吃原有的草.所以牧場(chǎng)上的草夠吃72÷6=12(周)，也就是這個(gè)牧場(chǎng)上的草夠21頭牛吃12周.問(wèn)題得解。

　　例2 一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi).如果10人淘水，3小時(shí)淘完;如5人淘水8小時(shí)淘完.如果要求2小時(shí)淘完，要安排多少人淘水?

　　分析與解答這類問(wèn)題，都有它共同的特點(diǎn)，即總水量隨漏水的延長(zhǎng)而增加.所以總水量是個(gè)變量.而單位時(shí)間內(nèi)漏進(jìn)船的水的增長(zhǎng)量是不變的.船內(nèi)原有的水量(即發(fā)現(xiàn)船漏水時(shí)船內(nèi)已有的水量)也是不變的量.對(duì)于這個(gè)問(wèn)題我們換一個(gè)角度進(jìn)行分析。

　　如果設(shè)每個(gè)人每小時(shí)的淘水量為“1個(gè)單位”.則船內(nèi)原有水量與3小時(shí)內(nèi)漏水總量之和等于每人每小時(shí)淘水量×時(shí)間×人數(shù)，即1×3×10=30.

　　船內(nèi)原有水量與8小時(shí)漏水量之和為1×5×8=40。

　　每小時(shí)的漏水量等于8小時(shí)與3小時(shí)總水量之差÷時(shí)間差，即(40-30)÷(8-3)=2(即每小時(shí)漏進(jìn)水量為2個(gè)單位，相當(dāng)于每小時(shí)2人的淘水量)。

　　船內(nèi)原有的水量等于10人3小時(shí)淘出的總水量-3小時(shí)漏進(jìn)水量.3小時(shí)漏進(jìn)水量相當(dāng)于3×2=6人1小時(shí)淘水量.所以船內(nèi)原有水量為30-(2×3)=24。

　　如果這些水(24個(gè)單位)要2小時(shí)淘完，則需24÷2=12(人)，但與此同時(shí)，每小時(shí)的漏進(jìn)水量又要安排2人淘出，因此共需12+2=14(人)。

　　從以上這兩個(gè)例題看出，不管從哪一個(gè)角度來(lái)分析問(wèn)題，都必須求出原有的量及單位時(shí)間內(nèi)增加的量，這兩個(gè)量是不變的量.有了這兩個(gè)量，問(wèn)題就容易解決了。

　　例3 12頭牛28天可以吃完10公畝牧場(chǎng)上全部牧草，21頭牛63天可以吃完30公畝牧場(chǎng)上全部牧草.多少頭牛126天可以吃完72公畝牧場(chǎng)上全部牧草(每公畝牧場(chǎng)上原有草量相等，且每公畝牧場(chǎng)上每天生長(zhǎng)草量相等)?

　　分析解題的關(guān)鍵在于求出一公畝一天新生長(zhǎng)的草量可供幾頭牛吃一天，一公畝原有的草量可供幾頭牛吃一天。

　　12頭牛28天吃完10公畝牧場(chǎng)上的牧草.相當(dāng)于一公畝原來(lái)的牧草加上28天新生長(zhǎng)的草可供33.6頭牛吃一天(12×28÷10=33.6)。

　　21頭牛63天吃完30公畝牧場(chǎng)上的牧草，相當(dāng)于一公畝原有的草加上63天新生長(zhǎng)的草可供44.1頭牛吃一天(63×21÷30=44.l)。

　　一公畝一天新生長(zhǎng)的牧草可供0.3頭牛吃一天，即

　　(44.l-33.6)÷(63-28)=0.3(頭)。

　　一公畝原有的牧草可供25.2頭牛吃一天，即

　　33.6-0.3×28=25.2(頭)。

　　72公畝原有牧草可供14.4頭牛吃126天.即

　　72×25.2÷126=14.4(頭)。

　　72公畝每天新生長(zhǎng)的草量可供21.6頭牛吃一天.即

　　72×0.3=21.6(頭)。

　　所以72公畝牧場(chǎng)上的牧草共可以供36(=14.4+21.6)頭牛吃126天.問(wèn)題得解。

　　解：一公畝一天新生長(zhǎng)草量可供多少頭牛吃一天?

　　(63×2i÷30-12×28÷10)÷(63-28)=0.3(頭)。

　　一公畝原有牧草可供多少頭牛吃一天?

　　12×28÷10-0.3×28=25.2(頭)。

　　72公畝的牧草可供多少頭牛吃126天?

　　72×25.2÷126+72×0.3=36(頭)。

　　答：72公畝的牧草可供36頭牛吃126天。

　　例4 一塊草地，每天生長(zhǎng)的速度相同.現(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者供80只羊吃12天.如果一頭牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天?

　　分析由于1頭牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊每天的吃草量和15頭牛每天吃草量相等，80只羊每天吃草量與20頭牛每天吃草量相等。

　　解：60只羊每天吃草量相當(dāng)多少頭牛每天的吃草量?

　　60÷4=15(頭)。

　　草地原有草量與20天新生長(zhǎng)草量可供多少頭牛吃一天?

　　16×20=320(頭)。

　　80只羊12天的吃草量供多少頭牛吃一天?

　　(80÷4)×12=240(頭)。

　　每天新生長(zhǎng)的草夠多少頭牛吃一天?

　　(320-240)÷(20-12)=10(頭)。

　　原有草量夠多少頭牛吃一天?

　　320-(20×10)=120(頭)。

　　原有草量可供10頭牛與60只羊吃幾天?

　　120÷(60÷4+10-10)=8(天)。

　　答：這塊草場(chǎng)可供10頭牛和60只羊吃8天。

　　例5 一水庫(kù)原有存水量一定，河水每天均勻入庫(kù).5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干;6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)?

　　解：水庫(kù)原有的水與20天流入水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天?20×5=100(臺(tái))。

　　水庫(kù)原有的水與15天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天?6×15=90(臺(tái))。

　　每天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天?

　　(100-90)÷(20-15)=2(臺(tái))。

　　原有的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天?

　　100-20×2=60(臺(tái))。

　　若6天抽完，共需抽水機(jī)多少臺(tái)?

　　60÷6+2=12(臺(tái))。

　　答：若6天抽完，共需12臺(tái)抽水機(jī)。

　　例6 有三片草場(chǎng)，每畝原有草量相同，草的生長(zhǎng)速度也

　　設(shè)第三片草場(chǎng)(24畝)可供x頭牛18周吃完，則由每頭牛每周吃草量可列出方程為：

　　x=36

　　答：第三片草場(chǎng)可供36頭牛18周食用。

　　這道題列方程時(shí)引入a、b兩個(gè)輔助未知數(shù).在解方程時(shí)不一定要求出其數(shù)值，在本題中只需求出它們的比例關(guān)系即可。

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