五年級小學數(shù)學知識：數(shù)的整除問題

　　數(shù)的整除問題，內(nèi)容豐富，思維技巧性強。它是小學數(shù)學中的重要課題，也是小學數(shù)學診斷命題的內(nèi)容之一。

　　一、基本概念和知識

　　1.整除——約數(shù)和倍數(shù)

　　例如：15÷3=5，63÷7=9

　　一般地，如a、b、c為整數(shù)，b≠0，且a÷b=c，即整數(shù)a除以整除b(b不等于0)，除得的商c正好是整數(shù)而沒有余數(shù)(或者說余數(shù)是0)，我們就說，a能被b整除(或者說b能整除a)。記作b|a.否則，稱為a不能被b整除，(或b不能整除a)，記作ba。

　　如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。

　　例如：在上面算式中，15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù);63是7的倍數(shù)，7是63的約數(shù)。

　　2.數(shù)的整除性質(zhì)

　　性質(zhì)1：如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。

　　即：如果c|a，c|b，那么c|(a±b)。

　　例如：如果2|10，2|6，那么2|(10+6)，

　　并且2|(10—6)。

　　性質(zhì)2：如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a.即：如果bc|a，那么b|a，c|a。

　　性質(zhì)3：如果b、c都能整除a，且b和c互質(zhì)，那么b與c的積能整除a。

　　即：如果b|a，c|a，且(b，c)=1，那么bc|a。

　　例如：如果2|28，7|28，且(2，7)=1,

　　那么(2×7)|28。

　　性質(zhì)4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

　　即：如果c|b，b|a，那么c|a。

　　例如：如果3|9，9|27，那么3|27。

　　3.數(shù)的整除特征

　　①能被2整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是0、2、4、6、8的整數(shù).“特征”包含兩方面的意義：一方面，個位數(shù)字是偶數(shù)(包括0)的整數(shù)，必能被2整除;另一方面，能被2整除的數(shù)，其個位數(shù)字只能是偶數(shù)(包括0).下面“特征”含義相似。

　　②能被5整除的數(shù)的特征：個位是0或5。

　�、勰鼙�3(或9)整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位數(shù)字之和能被3(或9)整除。

　�、苣鼙�4(或25)整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4(或25)整除。

　　例如：1864=1800+64，因為100是4與25的倍數(shù)，所以1800是4與25的倍數(shù).又因為4|64，所以1864能被4整除.但因為2564，所以1864不能被25整除.

　　⑤能被8(或125)整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8(或125)整除。

　　例如：29375=29000+375，因為1000是8與125的倍數(shù)，所以29000是8與125的倍數(shù).又因為125|375，所以29375能被125整除.但因為8375，所以829375。

　�、弈鼙�11整除的數(shù)的特征：這個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差(大減小)是11的倍數(shù)。

　　例如：判斷123456789這九位數(shù)能否被11整除?

　　解：這個數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和是9+7+5+3+1=25，偶數(shù)位上的數(shù)字之和是8+6+4+2=20.因為25—20=5，又因為115，所以11123456789。

　　再例如：判斷13574是否是11的倍數(shù)?

　　解：這個數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差是：(4+5+1)-(7+3)=0.因為0是任何整數(shù)的倍數(shù)，所以11|0.因此13574是11的倍數(shù)。

　�、吣鼙�7(11或13)整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差(以大減小)能被7(11或13)整除。

　　例如：判斷1059282是否是7的倍數(shù)?

　　解：把1059282分為1059和282兩個數(shù).因為1059-282=777，又7|777，所以7|1059282.因此1059282是7的倍數(shù)。

　　再例如：判斷3546725能否被13整除?

　　解：把3546725分為3546和725兩個數(shù).因為3546-725=2821.再把2821分為2和821兩個數(shù)，因為821—2=819，又13|819，所以13|2821，進而13|3546725.

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