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初中數(shù)學(xué)幾何公式定理總結(jié)

2010-04-28 10:01:16  來源:青年人 文章作者:匿名

  坐標(biāo)幾何


  一對垂直相交于平面的軸線,可以讓平面上的任意一點用一組實數(shù)來表示。軸線的交點是 (0, 0),稱為原點。水平與垂直方向的位置,分別用x與y代表。


  一條直線可以用方程式y(tǒng)=mx+c來表示,m是直線的斜率(gradient)。這條直線與y軸相交于 (0, c),與x軸則相交于(–c/m, 0)。垂直線的方程式則是x=k,x為定值。


  通過(x0, y0)這一點,且斜率為n的直線是 y–y0=n(x–x0)


  一條直線若垂直于斜率為n的直線,則其斜率為–1/n。通過(x1, y1)與(x2, y2)兩點的直線是


  y=(y2–y1/x2–x1)(x–x2)+y2   x1≠x2


  若兩直線的斜率分別為m與n,則它們的夾角θ滿足于tanθ=m–n/1+mn,半徑為r、圓心在(a, b)的圓,以(x–a) 2+(y–b) 2=r2表示。


  三維空間里的坐標(biāo)與二維空間類似,只是多加一個z軸而已,例如半徑為r、中心位置在(a, b, c)的球,以(x–a) 2+(y–b) 2+(z–c) 2=r2表示。


  三維空間平面的一般式為ax+by+cz=d。


  三角學(xué)


  邊長為a、b、c的直角三角形,其中一個夾角為θ。它的六個三角函數(shù)分別為:正弦(sine)、余弦 (cosine)、正切(tangent)、余割(cosecant)、正割(secant)和余切(cotangent)。


  sinθ=b/c  cosθ=a/c  tanθ=b/a


  cscθ=c/b  secθ=c/a  cotθ=a/b


  若圓的半徑是1,則其正弦與余弦分別為直角三角形的高與底。


  a=cosθ    b=sinθ


  依照勾股定理,我們知道a2+b2=c2。因此對于圓上的任何角度θ,我們都可得出下列的全等式:


  cos2θ+sin2θ=1


  三角恒等式


  根據(jù)前幾頁所述的定義,可得到下列恒等式(identity):


  tanθ=sinθ/cosθ,cotθ=cosθ/sinθ


  secθ=1/cosθ,cscθ=1/sinθ


  分別用cos 2θ與sin 2θ來除cos 2θ+sin 2θ=1,可得:


  sec 2θ–tan 2θ=1  及  csc 2θ–cot 2θ=1


  對于負(fù)角度,六個三角函數(shù)分別為:


  sin(–θ)= –sinθ  csc(–θ)= –cscθ


  cos(–θ)= cosθ  sec(–θ)= secθ


  tan(–θ)= –tanθ  cot(–θ)= –cotθ


  當(dāng)兩角度相加時,運(yùn)用和角公式:


  sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ


  cos(α+β)= cosαcosβ–sinαsinβ


  tan(α+β)= tanα+tanβ/1–tanαtanβ


  若遇到兩倍角或三倍角,運(yùn)用倍角公式:


  sin2α= 2sinαcosα  sin3α= 3sinαcos2α–sin3α


  cos2α= cos 2α–sin 2α cos3α= cos 3α–3sin 2αcosα


  tan 2α= 2tanα/1–tan 2α


  tan3α= 3tanα–tan 3α/1–3tan 2α


  二維圖形


  下面是一些二維圖形的周長與面積公式。


  圓:


  半徑= r    直徑d=2r


  圓周長= 2πr =πd


  面積=πr2  (π=3.1415926…….)


  橢圓:


  面積=πab


  a與b分別代表短軸與長軸的一半。


  矩形:


  面積= ab


  周長= 2a+2b


  平行四邊形(parallelogram):


  面積= bh = ab sinα


  周長= 2a+2b


  梯形:


  面積= 1/2h (a+b)


  周長= a+b+h (secα+secβ)


  正n邊形:


  面積= 1/2nb2 cot (180°/n)


  周長= nb


  四邊形(i):


  面積= 1/2ab sinα


  四邊形(ii):


  面積= 1/2 (h1+h2) b+ah1+ch2


  三維圖形


  以下是三維立體的體積與表面積(包含底部)公式。


  球體:


  體積= 4/3πr3


  表面積= 4πr2


  方體:


  體積= abc


  表面積= 2(ab+ac+bc)


  圓柱體:


  體積= πr2h


  表面積= 2πrh+2πr2


  圓錐體:


  體積= 1/3πr2h


  表面積=πr√r2+h2 +πr2


  三角錐體:


  若底面積為A,


  體積= 1/3Ah


  平截頭體(frustum):


  體積= 1/3πh (a2+ab+b2)


  表面積=π(a+b)c+πa2+πb2


  橢球:


  體積= 4/3πabc


  環(huán)面(torus):


  體積= 1/4π2 (a+b) (b–a) 2


  表面積=π2 (b2–a2)


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