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趣味學習小學數(shù)學:魔方動作解密

2010-02-22 09:58:20  來源:智康教育 文章作者:劉姝玲

  作者:北大校區(qū)小學數(shù)學老師 劉姝玲 


  現(xiàn)在中小學較流行的動腦游戲要算是魔方了,現(xiàn)在魔方的玩法也是多種多樣,很多孩子想學,那么我們一起來開動腦筋吧


  魔方有多少種可以達到的狀態(tài)?答案是 43252003274486000 約 4000 億億。


  算法: 8 個角方塊排列在 8 個位置, 12 個棱方塊排列在 12 個位置,共有 8! × 12 !種。又每個棱方塊有 2 個朝向,每個角方塊有 3 個朝向, 共 3^8 × 2^12 種。因此魔方的狀態(tài)數(shù)是 8! × 12 !× 3^8 × 2^12 = 519024039293878272000 種,51902億億以上。


  但在 20 個方塊中, 18 個位置確定,另外 2 個位置也就確定了。因此要去掉因子 2 !。在 8 個角方塊中, 7 個朝向確定,第 8 個朝向也就確定了;在 12 個棱方塊中, 11 個朝向確定,第 12 個朝向也就確定了。這樣要再去掉 3 × 2 因子,實際是上面數(shù)的 1/12 ,即總數(shù) 8! × 12 !× 3^7 × 2^11/2=43252003274486000 .


  從另一個角度考慮上面的除數(shù) 12 .如果我們確定了 6 種顏色,每種顏色涂在魔方的1 個表面上的9個小方塊上。然后然后我們拆開魔方,再打亂了重新拼裝起來,那么并不是所得到的每個魔方都能還原為初始狀態(tài)。具體說,有519024039293878272000 種拼法,可以分為 12 類,每類 43252003274486000 種。同類里任何兩個狀態(tài)可以相互轉(zhuǎn)換,而不同類間不能轉(zhuǎn)換。


  魔方動作的群論表示舉例


  面對右面(r面),看到右面一層如下左圖,轉(zhuǎn)動Y3后如右圖,就可得出各塊的變動。

 

 

 


  類似分析Z3,

 

 

 


  二者復合為

 


  其中對角方塊,右上角的正號表示此塊順時針轉(zhuǎn)2π/3 ,負號表示反時針轉(zhuǎn)。對棱方塊表示有一個方向的翻轉(zhuǎn)。 上面分析說明,經(jīng)過Y3,Z3兩個轉(zhuǎn)動,上右前角塊回到原地,但順時針轉(zhuǎn)了2π/3 ,還有5個角方塊做了一個輪換,各反時針轉(zhuǎn)了2π/3 ,或說順時針轉(zhuǎn)了4π/3 ,7個棱方塊做了一個輪換。


  這樣,可以看出,


  (1) 如果把動作Y3*Z3連續(xù)做3次,那么上右前角方塊會回到原來位置,且轉(zhuǎn)了6π/3,即沒有轉(zhuǎn)動。


  (2) 如果把動作Y3*Z3連續(xù)做5次,那5個角方塊都會回到原來位置,但都轉(zhuǎn)了10π/3,或4π/3,即反時針轉(zhuǎn)2π/3 .


  (3) 如果把動作Y3*Z3連續(xù)做7次,那7個棱方塊都會回到原來位置,且沒有轉(zhuǎn)動。


  我們用魔方電腦游戲可以輕易的驗證這些結(jié)論。


  用這種方法,我們只要給出9個基本動作X1,X2,X3,Y1,Y2,Y3,Z1,Z2,Z3,就可以求出它們的逆動作X1',X2',X3',Y1',Y2',Y3',Z1',Z2',Z3',在通過求出任何若干次動作的結(jié)果。我們已經(jīng)不需要具體的魔方,只要由就可以表現(xiàn)魔方的轉(zhuǎn)動。


  反過來,如果知道魔方的狀態(tài),能否找到復原的方法?也就是把現(xiàn)在狀態(tài)分解為基本動作的復合,這是個問題,相當于把一個矩陣分解為某些特定矩陣的積。如果能解決這個問題并很快給出答案,就完全解決了魔方的復原問題。


  解決魔方的記錄


  利用群論可以給出魔方解法。理論上,解決魔方的步數(shù)可能較多只需要22 或23步。實際上,英國一位魔方大師利用群論求出的解法較多只要52 步。100 步以下就是很好的解法。一般人玩,恢復魔方需要數(shù)百步。


  2005 年2 月2 日的世界魔方比賽中,Shotaro Makisnmi(日本)奪得,成績13.27 秒;Leyan Lo(美國) 和Frank Morris(美國)并列第二名,時間同為15 秒;Chun Hei Wong(中國香港)第四名,18.48 秒。
 

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