小學數(shù)學解題常見錯誤分析：復合應(yīng)用題

2009-12-21 09:40:46 　來源：本站原創(chuàng) 文章作者：匿名

 

　　復合應(yīng)用題

　　復合應(yīng)用題就是要用兩步或兩步以上的運算才能解答的應(yīng)用題。因此，每個復合應(yīng)用題一般都由兩個或兩個以上有聯(lián)系的簡單應(yīng)用題復合而成。復合應(yīng)用題中需要用特殊的思路與方法進行解答的，這類題稱為典型應(yīng)用題。復合應(yīng)用題由于數(shù)量關(guān)系復雜，解題時應(yīng)特別注意遵循以下步驟：

　　先進步：審題。了解題中的內(nèi)容，理解題意，找出題中的已知條件和要求的問題。

　　第二步：分析。重點分析題中的數(shù)量關(guān)系，即已知數(shù)與已知數(shù)的關(guān)系，已知數(shù)和未知數(shù)的關(guān)系，從而找出解題的途徑與方法。

　　第三步：列式。確定解題步驟與方法，先算什么，再算什么，……較后算什么，并列出分步式或者綜合式，進行得出答案。

　　第四步：驗算。通過驗算較后確定答案正確與否。

　　第五步：答題。寫出題目中所要求的答案。

　　在以上的步驟中，審題是基礎(chǔ)，分析是關(guān)鍵。只有認真審題，正確分析，才能找到正確的解題思路，列出正確的算式進行解答。驗算往往在解題時容易忽略，其實這一步是非常重要的，有的孩子解答完一道題后，自己不知道是否正確，沒有把握，這就是沒有進行“驗算”訓練的表現(xiàn)。作答一般來講是容易的事，正因為如此，在作答時往往出現(xiàn)張冠李戴的錯誤。

　　例 1 勝利機械廠1995年的產(chǎn)值是65萬元，1997年的產(chǎn)值比1995年增長了3倍。1997年的產(chǎn)值是多少萬元？

　　[解]65+65×3

　　=65+195

　　=260（萬元）。

　　或者65×（3+1）

　　=65×4

　　=260（萬元）。

　　答：1997年的產(chǎn)值是260萬元。

　　[常見錯誤]

　　65×3=195（萬元）。

　　答：1997年的產(chǎn)值是195萬元。

　　例 2 果園鄉(xiāng)去年收桔子40萬箱，今年收桔子120萬箱。今年的桔子產(chǎn)量比去年增加了幾倍？

　　[解]（120-40）÷40=80÷40

　　=2。

　　答：今年的桔子產(chǎn)量比去年增加2倍。

　　[常見錯誤]

　　120÷40=3（倍）。

　　答：今年桔子產(chǎn)量比去年增加了3倍。

　　[分析]

　　以上兩例的錯誤，主要是由于孩子對“倍數(shù)”關(guān)系理解不清而造成的。例1誤把“增長了3倍”與“求一個數(shù)的3倍是多少”等同起來，不知道1997年的產(chǎn)值比1995年增長3倍以后，是 1995年產(chǎn)值的4倍，因此產(chǎn)生了錯誤；例2對“今年的桔子產(chǎn)量比去年增加了幾倍”理解不清，把它與“今年的產(chǎn)量是去年的幾倍”等同起來，所以產(chǎn)生了錯誤，列式中由于“倍”不是計量單位，因此較后在“倍”字上加括號作為計量單位，也是錯誤的。

　　應(yīng)用題中所講的“倍數(shù)”一般是由兩個數(shù)量相比較而得出來的。例如“桃樹的棵數(shù)是梨樹的3倍”，是桃樹棵數(shù)與梨樹棵數(shù)相比較而得來的；“1997年的產(chǎn)值比1995年增長了3倍”，即 1997年的產(chǎn)值比1995年產(chǎn)值增長的數(shù)與1995年產(chǎn)值相比得出的3倍，因此，在解題時，若遇到“倍數(shù)”問題，一定要弄清它是由哪兩個數(shù)量比較而得來的。

　　解倍數(shù)應(yīng)用題，準確地找到“1倍數(shù)”，這是解題的關(guān)鍵。倍數(shù)應(yīng)用題中有個誰與誰比的問題，那個被比的數(shù)就是“1倍數(shù)”，如例1中1995年的產(chǎn)值是“1倍數(shù)”。

　　為了使孩子正確地解答這類問題，培養(yǎng)孩子用圖示法解題是很重要的。例如桃樹有150棵，是梨樹棵數(shù)的3倍，梨樹有多少棵？孩子如能畫出下面的圖，則解題就容易得多了。

　　從圖中很清楚地可以看出，桃樹的棵數(shù)是梨樹棵數(shù)的3倍，求梨樹的棵數(shù)，就是把桃樹的棵數(shù)平均分成3份，取其中的1份，如例1，孩子能畫出下面的圖，解答也就不困難了。從圖中可以看出，1997年的產(chǎn)值相當于1995年產(chǎn)值的4倍。例2結(jié)合題目的分析可繪出如下的示意圖。從圖中可以看出，要求今年桔子產(chǎn)量比去年增長幾倍，必須先求出今年

　　的桔子比去年增長了多少萬箱，再看增長的箱數(shù)是去年產(chǎn)量的幾倍，就是增長幾倍。

　例 3 狐貍在奔跑時較高速度可達每分鐘750米。照這樣，1小時可跑多少千米？

　　[解]750×60÷1000

　　=45000÷1000

　　=45（千米）。

　　或者：750÷1000×60

　　=0.75×60

　　=45（千米）。

　　答：狐貍較高速度1小時可跑45千米。

　　[常見錯誤]

　　750÷1000=0.75（千米）。

　　答：狐貍較高速度1小時可跑0.75千米。

　　例 4 一個餐廳長12米，寬10米，用邊長為2分米的正方形瓷磚鋪地，需要這種瓷磚多少塊？

　　[解]12×10÷（0.2×0.2）

　　=120÷0.04

　　=3000（塊）。

　　或者 120×100÷（2×2）

　　=12000÷4

　　=3000（塊）。

　　答：需要瓷磚3000塊。

　　[常見錯誤]

　　12×10÷（2×2）

　　=120÷4

　　=30（塊）。答：需要瓷磚30塊。

　　[分析]

　　以上兩例的錯誤，一方面是孩子對題意不理解，另一方面就是計量單位的選用對解題產(chǎn)生了較大的干擾，而導致了錯誤，如例3中只有一個數(shù)量750米供孩子解題時思考，他們在思考時各種計量單位的化聚同時出現(xiàn)在腦海里，無所適從，因此，就選擇了750÷1000的錯誤方法。

　　要防止出現(xiàn)類似錯誤，必須透徹地理解每一步解題的算理。如例3分析時可畫出下面的方框圖。

　　從圖中可以看出，1分鐘跑750米，1小時跑多少千米？跑的時間由1分鐘變成了1小時（60分鐘），即擴大了60倍，那么，跑的距離也應(yīng)該擴大60倍，即750×60。而題中要求的是多少千米，因此再算一步得750×60÷1000。

　　例 4 有兩種解答方法，先進種是先統(tǒng)一用“米”作長度單位，這樣，面積就都以“平方米”作單位。第二種是先統(tǒng)一用“分米”作長度單位，這樣，面積就以“平方分米”作單位。只有單位統(tǒng)一后，才能求出正確的答案。

　　例 5100千克蓖麻籽可以榨油45千克，1千克蓖麻籽可以榨多少千克蓖麻油？

　　[解]45÷100=0.45（千克）。

　　答：1千克蓖麻籽可以榨0.45千克油。

　　[常見錯誤]

　　100÷0.45≈2.22（千克）。

　　答：1千克蓖麻籽可以榨2.22千克油。

　　例 6 用0.5度電可以生產(chǎn)化肥0.4千克。照這樣，生產(chǎn)1千克化肥需要多少度電？

　　[解]0.5÷0.4=1.25（度）。

　　答：生產(chǎn)1千克化肥要1.25度電。

　　[常見錯誤]

　　0.4÷0.5=0.8（度）。

　　答：生產(chǎn)1千克化肥要0.8度電。

　　[分析]

　　孩子解以上兩題出現(xiàn)錯誤的原因有兩個方面。先進是他們不熟悉題中的事情，沒有這方面的感性知識；第二是在學習整數(shù)時，除法運算都是較大數(shù)除以較小數(shù)，而到了學習小數(shù)時，較小的數(shù)也可以作為被除數(shù)，因此，他們對確定被除數(shù)與除數(shù)，還不能從算理上進行分析，要么憑經(jīng)驗用較大數(shù)作被除數(shù)（例5），要么瞎猜亂碰（例6）。為了防止上述錯誤的發(fā)生，首先要分析算理，如例5，45千克蓖麻油是從100千克蓖麻籽中榨出來的，要求每千克蓖麻籽能榨油多少千克，應(yīng)該把45千克油平均分成100份，每份就是1千克蓖麻籽榨出的油的千克數(shù)，所以用45÷100而不是100÷45。其次，要讓孩子弄明白蓖麻籽榨成油后，分成了兩部分，一部分是蓖麻油，另一部分是蓖麻餅。題中要求1千克蓖麻籽榨多少千克蓖麻油，這個結(jié)果一定是小于1千克。孩子若明白了這個事理，就不會錯成1千克蓖麻籽榨出2.22千克油來。為了防止出現(xiàn)這類問題的錯誤，可有針對性地解答以下問題：

　　①小明跑100米用了20秒鐘。

　　a．平均每跑1米用了多少時間？

　　b．平均每秒跑了多少米？

　�、谀趁旱V每采420千克煤需用電4度。

　　a．平均每度電可采煤多少千克？

　　b．平均每采1千克煤需用電多少度？

　　例 7 張村今年植樹1480棵，比李村植樹的棵數(shù)少245棵。今年兩村共

　　植樹多少棵？

　　[解]1480+（1480+245）

　　=1480+1725

　　=3205（棵）。

　　答：今年兩村共植樹3205棵。[常見錯誤]

　　1480+245=1725（棵）。

　　答：今年兩村共植樹1725棵。

　　例 8 洪江路小學參加科技小組的同學有120人，比參加數(shù)學小組人數(shù)的

　　2倍多20人。參加兩個小組的同學共有多少人？

　　[解]120+（120-20）÷2

　　=120+100÷2

　　=120+50

　　=170（人）。

　　答：參加兩個小組的同學共有170人。

　　[常見錯誤]

　�。�1）120×2-20

　　=240-20

　　=220（人）。

　　答：參加兩個小組的同學共有220人。

　�。�2）120×2+20

　　=240+20

　　=260（人）。

　　答：參加兩個小組的同學共有260人。

　　[分析]

　　以上兩例有一個共同的特點，就是題中的一個已知條件在解題時要重復運用一次。因此，孩子解這類問題時極易發(fā)生錯誤。如例7“今年植樹1480棵”這一已知條件要運用兩次才能解答此題，而孩子往往錯誤地認為將1480加上245就是兩年植樹的棵數(shù)，從而發(fā)生了錯誤。例8中“參加科技小組的同學有120人”這個已知條件解題時也要重復用兩次，而孩子解題時容易理解成“參加科技小組人數(shù)的2倍多20人”就是兩個小組的人數(shù)，因而發(fā)生了解題錯誤。

　　為了防止發(fā)生上述錯誤，可用填圖的方法進行思考，如例7填圖法的解題思路是這樣的：

　　通過以上的步驟進行填圖，就明白了要求兩村一共植樹多少棵，一定要知道張村與李村各植樹多少棵。這樣，就不會發(fā)生遺漏已知條件的解題錯誤。其次是通過畫圖來理解數(shù)量關(guān)系。如例8可畫出下圖：

　　從圖中形象地看出，其中數(shù)學組的人數(shù)不知道，如果從科技組的人數(shù)中去掉20名，則正好是數(shù)學組人數(shù)的2倍，從而求出數(shù)學組的人數(shù)，進一步求出兩組共有的人數(shù)。

　　以上兩例中的一個已知條件解題時只重復使用兩次，有的題已知條件要重復使用多次。

　　例如：

　　某運輸隊先進天運了64.5噸煤，第二天比先進天少運了18噸，第三天運的噸數(shù)是先進天的3倍。三天一共運多少噸？

　　這道題的解法是：

　　64.5+（64.5-18）+64.5×3

　　=64.5+46.5+193.5

　　=111+193.5

　　=304.5（噸）。

　　答：三天共運煤304.5噸。

　　例 9 蔬菜公司運進一批南瓜和辣椒，南瓜比辣椒多560千克，南瓜50筐，每筐40千克，辣椒40筐，每筐多少千克？

　　[解]（40×50-560）÷40

　　=（2000-560）÷40

　　=1440÷40

　　=36（千克）。

　　答：辣椒每筐36千克。

　　[常見錯誤]

　　40×50-560÷40

　　=2000-560÷40

　　=1440÷40

　　=36（千克）。

　　答：辣椒每筐36千克。

　　[分析]

　　例 9 的錯誤是沒有使用括號，此題盡管解題的思路是正確的，但由于沒有使用括號而導致綜合算式的錯誤。另外，在應(yīng)用題解答中添加多余的括號的現(xiàn)象也很普遍。產(chǎn)生上述錯誤的原因是沒有理解使用括號的作用，以及不知道如何使用括號。糾正的辦法也應(yīng)該從這兩方面著手。先進通過實際例子認識到括號的作用是改變運算順序。例如并說明下面每組算式的結(jié)果為什么不同。

　　通過以上的訓練，孩子認識到，在一個算式中，由于使用了括號，就改變了原來的運算順序，出的結(jié)果就不同。其次是弄清怎樣正確使用括號。

　　列綜合算式解應(yīng)用題是孩子學習的難點，而正確地使用括號又是小孩子列綜合算式的難點。為了突破這個難點，一般可分下面兩個階段進行訓練。

　　先進階段：分步列式解答應(yīng)用題。

　　第二階段：將分步式改寫成綜合算式。

　　如例9，分步列式應(yīng)該為：

　　40×50=2000（千克）………南瓜的總重量

　　2000-560=1440（千克）……辣椒的總重量

　　1440÷40=36（千克）………辣椒每筐的重量

　　我們知道，混合運算的順序是先算括號里面的再算括號外面的。有括號是先算小括號，再算中括號，較后算大括號里面的。先把先進步算式用小括號括起來（不算出結(jié)果），即（40×50），再把第二步算式用中括號括起來，即[（40×50）-560]，較后除以40的運算顯然可以放在中括號之外了，這樣得到綜合算式如下：

　　[（40×50）-560）÷40。

　　由于中括號里面的運算應(yīng)該是先乘除后加減，因此小括號是多余的，去掉里面小括號，將外面中括號改為小括號，即得例9的綜合算式為：

　�。�40×50-560）÷40。

　　例 10一個工廠3小時加工零件96個。照這樣，再工作5小時，一共加工零件多少個？（用兩種方法解答）

　　解法1：96+96÷3×5

　　=96+32×5

　　=96+160

　　=256（個）。

　　解法2：設(shè)再工作5小時，一共加工零件x個。

　　x÷（5+3）=96÷3，x÷8=32，

　　x=256。

　　答：再工作5小時，一共加工零件256個。

　　[常見錯誤]

　　解法1：

　�。�1）平均每小時加工多少個：

　　96÷3=32（個）。

　　（2）這個工人還要工作5小時，加工零件多少個？

　　32×5=160（個）。

　�。�3）他一共加工零件多少個？

　　96+160=256（個）。

　　解法2：96+96÷3×5

　　=96+32×5

　　=96+160

　　=256（個）。

　　答：再工作5小時，一共加工零件256個。

　　例 11食堂有煤12噸，前 5天燒了3噸，照這樣，剩下的煤可以多少天？（用兩種方法解答）

　　解法1：（12-3）÷（3÷5）

　　=9÷0.6

　　=15（天）。

　　解法2：設(shè)剩下的煤可以燒x天

　　3x=60-15，

　　x=45÷3，

　　x=15。

　　答：剩下的煤可以燒15天。

　　[常見錯誤]

　　解法1：設(shè)剩下的煤可以燒x天。

　　（12-3）÷x=3÷5，

　　9÷x=0.6，

　　x=9÷0.6，

　　x=15。

　　解法2：設(shè)剩下的煤可以燒x天。3÷5=（12-3）÷x，

　　0.6=9÷x，

　　x=9÷0.6，

　　x=15。

　　答：剩下的煤可以燒15天。

　　[分析]

　　例 10解答都沒有錯，只是把解題思路相同的分步列式解答與綜合列式解答作為兩種解法，例 11的兩種解法都是用同一方程解應(yīng)用題，不同的只是等式兩邊互換了一下位置，這實際上也是一種解法。出現(xiàn)這種情況的原因是不理解“兩種解法”的含義，不知道所謂“兩種解法”就是用兩種不同的思路去解題，而不是形式上的不同，不同的思路去解題，必然列出的算式的算理不同，當然一般而言算術(shù)解法與代數(shù)解法（即列方程）屬于不同解法。要真正理解不同解法的實質(zhì)，應(yīng)分析比較不同的算術(shù)解法的算理。

　　例如：王師傅裝配一臺機器，原來要用2.2小時，革新技術(shù)后，現(xiàn)在裝配一臺機器比原來縮短0.2小時，問原來裝配60臺機器所需的時間，現(xiàn)在可以裝配多少臺？

　　解法1：2.2×60÷（2.2-0.2）

　　=132÷2

　　=66（臺）。

　　解法2：60+0.2×60÷（2.2-0.2）

　　=60+12÷2

　　=60+6

　　=66（臺）。

　　解法1與解法2的列式不同，顯然算理也不同。

　　解法1：原來裝60臺所需的時間÷現(xiàn)在裝配一臺用的時間=現(xiàn)在可以裝配多少臺。

　　解法2：原來裝的60臺+節(jié)省時間后可以多裝的臺數(shù)=現(xiàn)在可以裝配多少臺。

　　當然本題還可以用列方程的方法求解，應(yīng)用題多種解法的目的在于開拓解題思路，如果能夠用不同的方法題解，就應(yīng)該選擇一種較簡便的方法。

　　例 12良豐農(nóng)場收割小麥，計劃每天收割86公頃，需18天完成任務(wù)，根據(jù)小麥成熟情況，必須優(yōu)先6天完成收割任務(wù)，這樣每天應(yīng)收小麥多少公頃？

　　[解] 86×18÷（18-6）

　　=1548÷12

　　=129（公頃）。答：優(yōu)先6天完成任務(wù)，每天應(yīng)收割129公頃。

　　[常見錯誤]

　　86×18÷6

　　=1548÷6

　　=258（公頃）。

　　答：優(yōu)先6天完成任務(wù)，每天應(yīng)收割258公頃。

　　例 13云麗小學要做400套校服，原來按每套2.4米買回一批布料，實際采用新裁剪方法做，平均每套節(jié)約0.4米布，這批布料實際可做多少套校服？

　　[解]2.4×400÷（2.4-0.4）

　　=960÷2

　　=480（套）。

　　或 400+0.4×400÷（2.4-0.4）

　　=400+160÷2

　　=400+80

　　=480（套）。

　　答：這批布料可以做校服480套。

　　[常見錯誤]

　　（1）（2.4-0.4）×400÷2.4

　　=2×400÷2.4

　　=800÷2.4

　　≈333（套）。

　　答：這批布料可以做校服333套。

　　（2）400+0.4×400÷2.4

　　=400+160÷2.4

　　≈400+67

　　=467（套）。

　　答：這批布料可以做校服467套。

　　[分析]

　　例 12的錯誤是將“優(yōu)先6天完成收割任務(wù)”當成了“6天完成收割任務(wù)”，因此列式錯誤。下面重點分析例13的兩種解法的錯誤。錯解（1）中的2.4-0.4，即每套校服節(jié)約用布后需用布多少米，（2.4-0.5）×400即節(jié)約用布后，做400套校服總共用布多少米。那么算式（2.4-0.4）×400÷2.4表示的是什么呢？它表示的是節(jié)約用布后做400套校服的用布，按原來的方法裁剪可做多少套校服，這顯然不是題目所問的；錯解（2）中的0.4×400，即400套總共可以節(jié)約的用布，0.4×400÷2.4即400套總共節(jié)約的用布，按原來的方法裁剪可以做多少套校服，再加上400套，顯然不是題目所問的了。如果把400套總共節(jié)約的用布，按現(xiàn)在的方法裁剪可以做多少套出來后，再加上400套，這又是題目所問的了，這也就是上面正確解答中的解法二。

　　防止因數(shù)量關(guān)系分析不清而產(chǎn)生解題錯誤的主要辦法是對每一步算式弄清算理，錯誤的算式只有在分析算理后才能知道錯在什么地方，分析了算式的錯誤后正確的列式也就產(chǎn)生了。

　　例 14少先隊開展植樹活動。先進中隊植樹40棵，第二中隊比先進中隊少植樹5棵，第三中隊植的是先進中隊的2倍。三個中隊一共植樹多少棵？

　　[解]40+（40-5）+40×2

　　=40+35+80

　　=155（棵）。

　　答：三個中隊一共植樹155棵。

　　[常見錯誤]

　�。�1）40-5+40×2

　　=35+80

　　=115（棵）。

　　答：三個中隊一共植樹115棵。

　�。�2）（40-5）×2

　　=35×2

　　=70（棵）。

　　答：三個中隊一共植樹70棵。

　　例 15甲乙兩城相距128.1千米，一輛汽車從甲城開往乙城，行駛3小時后離乙城還有20.1千米。這輛汽車平均每小時行多少千米？

　　[解]（128.1-20.1）÷3

　　=108÷3

　　=36（千米）。

　　答：這輛汽車平均每小時行36千米。

　　[常見錯誤]

　　128.1÷3-20.1=42.7-20.1

　　=22.6（千米）。

　　答：這輛汽車平均每小時行22.6千米。

　　[分析]

　　例14的錯解（1）是對題中的“第二中隊比先進中隊少植樹5棵”理解錯誤，以為40-5的結(jié)果是兩個中隊植的。錯解（2）則是對題中的已知條件及所求的問題都是不清楚的。例 4的錯誤是將“行駛3小時后離乙城還有20.1千米”理解為汽車的平均速度，比 3小時行完甲、乙城的距離還少20.1千米。為了防止以上錯誤的發(fā)生，且對這類問題的數(shù)量關(guān)系有較深刻地理解，用圖示幫助分析是很必要的，如例14在分析數(shù)量關(guān)系時可畫出如下面的圖。

　　從上圖可以清楚地看出，要求三個中隊共植樹多少棵，必須求出第二中隊、第三中隊各植樹多少棵，再求出三個中隊共植樹多少棵。

　　例 15解答時可畫出下圖。

　　從圖中清晰地看出，汽車行3小時還距乙城20.1千米，也就是說，汽車3小時只行了128.1-20.1=108（千米），而不是行了128.1千米。理解了這點后，再根據(jù)距離、速度、時間三者的關(guān)系，就能較容易求出汽車的平均速度。